Theorie:

Um nicht jedes Mal alle möglichen Vorbedingungen durchrechnen zu müssen können wir bedingte Wahrscheinlichkeiten auch direkt berechnen. Dazu benutzen wir den Satz von Bayes:
Satz von Bayes:
Die Bedingte Wahrscheinlichkeit \(P(A|B)\) für das Ergebnis \(A\) unter der Bedingung \(B\) ist die Gesamtwahrscheinlichkeit für die Ergebnisse \(A\) und \(B\) dividiert durch die Einzelwahrscheinlichkeit des Ergebnisses \(B\):
\(P(A|B) = \frac{P(A, B)}{P(B)}\) . 
 
Beispiel:
Wir versuchen, eine zufällig gewählte Ziffer (also eine einstellige Zahl) zu erraten. Da wir nichts über die Zahl wissen, ist jeder Tipp gleichermaßen wahrscheinlich (mit einer Wahrscheinlichkeit von je \(\frac 1 {10}\).
Bekommen wir jedoch den Hinweis, dass die Zahl z.B. größer als \(6\) ist, so haben wir zwei verschiedene Möglichkeiten:
  • Tippen wir auf eine Zahl, die höchstens \(6\) ist, liegen wir mit der Wahrscheinlichkeit
    \(P(X = x \leq 6\ |\ X > 6) = \frac{P(X = x \leq 6,\ X> 6)}{P(X > 6} = \frac{0}{0,3} = 0\)
    richtig. Mit anderen Worten: Wir liegen absolut sicher falsch.
  • Tippen wir hingegen auf eine Zahl über \(6\), so haben wir eine Erfolgswahrscheinlichkeit von
    \(P(X = x > 6\ |\ X > 6) = \frac{P(X = x > 6,\ X > 6)}{P(X>6)} = \frac{0,1}{0,3} = \frac 1 3 = 33,\dot 3\ \%\).