Theorie:

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Zwei Geraden, die in einer Ebene liegen, haben entweder einen gemeinsamen Punkt, keinen gemeinsamen Punkt oder fallen zusammen.
Im ersten Fall sagt man, dass die Geraden einander schneiden, im zweiten Fall sagt man, dass die Geraden einander nicht schneiden. Im dritten Fall sind die Geraden identisch.
 
Zwei Geraden \(a\) und \(b\) in der Ebene, die einander nicht schneiden und die nicht zusammenfallen, nennt man parallele Geraden. Man schreibt ab.
Wichtig!
Liegen die Geraden nicht in einer Ebene, ist es möglich, dass die Geraden sich weder schneiden noch parallel sind oder zusammenfallen. Man nennt sie dann windschief.
Cube.png
 
Merkmale der Parallelität von Geraden in der Ebene:
  
Merkmal 1. Stehen zwei Geraden in einer Ebene senkrecht auf derselben Gerade, sind sie parallel.
Lenku_veidi_perp.png
Angenommen die Geraden, die senkrecht auf derselben Gerade stehen, sind nicht parallel, also haben einen gemeinsamen Punkt.
 
Lenku_veidi_perp1.png
Dann erhält man einen Widerspruch, denn vom Punkt \(H\) würden zwei verschiedene Lote auf die Gerade \(c\) fallen. Das ist nicht möglich.
 
 
Um weitere Merkmale anzugeben, müssen wir uns an die folgenden Eigenschaften und Definitionen erinnern:
 
Lenku_veidi_teor2.png
 
Scheitelwinkel sind gleich groß: 1=3;2=4
Die Summe der Nebenwinkel Nachbarwinkel) beträgt 180°:1+2=2+3=3+4=4+1=180°.
 
Werden zwei Geraden von einer dritten Geraden geschnitten, nennt man die Winkel so:
Lenku_veidi_teor1.png
Wechselwinkel oder Z-Winkel: 3und5;2und8,
Stufenwinkel oder F-Winkel: 1und5;4und8;2und6;3und7
Nachbarwinkel oder E-Winkel: 3und8;2und5.
Diese Winkelpaare helfen die Parallelität von Geraden \(a\) und \(b\) zu bestimmen.
 
Merkmal 2. Wird ein Geradenpaar von einer weiteren Geraden geschnitten sodass:
die Wechselwinkel gleich groß sind, oder
die Stufenwinkel gleich groß sind, oder
die Summe von  Nachbarwinkeln \(180°\) beträgt, sind diese Geraden parallel.
Lenku_veidi_paral1.png
Beweis:
Wir zeigen zunächst, dass, wenn die Geraden \(a\) und \(b\) von einer Geraden \(c\) geschnitten werden und die Wechselwinkel gleich groß sind, dann sind \(a\) und \(b\) parallel.
 
Zum Beispiel, wenn 3=5, dann ist ab.
Lenku_veidi_paral11.png Lenku_veidi_paral11_atb.png
 
1) Man markiert die Punkte \(C\) und \(D\), in denen die Geraden \(a\) und \(b\) von der Geraden \(c\) geschnitten werden. Durch den Mittelpunkt \(K\) dieser Strecke zieht man ein Lot \(AB\) auf die Gerade \(a\).
 
2) Es ist CKA\(=\)DKB, weil sie Scheitelwinkel sind, weiters ist 3\(=\)5\(=\)α und \(CK = KD\), das heißt, ΔCKA\(=\)ΔDKB, nach dem Kongruenzsatz WSW.
 
3) Ist ΔCKA rechtwinkelig, dann ist auch ΔDKB rechtwinkelig und \(AB\) ist senkrecht zur Geraden \(b\).
 
4) Mit dem ersten Merkmal sehen wir, dass die Geraden, weil sie senkrecht auf dieselbe Geraden stehen, parallel sind. 
 
5)  Sind die Stufenwinkel gleich groß, kann man sagen, dass die Scheitelwinkel gleich groß sind und die Punkte 1) - 4) anwenden.
Lenku_veidi_paral13.png Lenku_veidi_paral13_atb.png
 
6) Falls die Summe der Nachbarwinkel 180° beträgt, folgt, dass die Summe der Nebenwinkel auch \(180°\) beträgt, wir können die Punkte 1) - 4) anwenden. 
Lenku_veidi_paral12.png Lenku_veidi_paral12_atb.png
Wir können folgern:
 
Werden zwei parallele Geraden von einer weiteren Geraden geschnitten:
- sind die Wechselwinkel gleich groß,
- sind die Stufenwinkel gleich groß,
- beträgt die Summe von Nachbarwinkeln \(180°\).