Theorie:
Umkreis eines Dreiecks
Berührt ein Kreis alle drei Ecken eines gegebenen Dreiecks, nennt man diesen Kreis Umkreis des Dreiecks.
Der Umkreismittelpunkt liegt gleich weit von allen Eckpunkten des Dreiecks entfernt im Schnittpunkt der drei Mittelsenkrechten des Dreiecks.
Also ist es möglich, in jedem beliebigen Dreieck einen Umkreis zu konstruieren, weil die Mittelsenkrechten eines Dreiecks sich in einem Punkt schneiden.
In einem spitzwinkligen Dreieck liegt der Umkreismittelpunkt innerhalb des Dreiecks.
Ist das Dreieck rechtwinkelig, dann liegt der Punkt an der Hypotenuse, ist es stumpfwinkelig, dann liegt er außerhalb des Dreiecks.
Inkreis eines Dreiecks
Berührt der Kreis alle drei Seiten des gegebenen Dreiecks von innen, nennt man ihn Inkreis dieses Dreiecks.
Also ist es möglich, in jedem beliebigen Dreieck einen Inkreis zu konstruieren, weil sich die Winkelhalbierenden eines Dreiecks in einem Punkt schneiden.
Da sich die Winkelhalbierenden der Innenwinkel eines Dreiecks innerhalb des Dreiecks schneiden, befindet sich der Inkreismittelpunkt innerhalb des Dreiecks.
Formeln
Gleichseitiges Dreieck
Wichtig!
In einem gleichseitigen Dreieck stimmen die Winkelhalbierenden, die Seitenhalbierenden und die Höhen überein, d.h. diese Strecken sind auch die Mittelsenkrechten. Das bedeutet, dass die Mittelpunkte des Inkreises und des Umkreises für ein gleichseitiges Dreieck auch übereinstimmen.
Umkreisradius
Es ist , wobei \(h\) die Höhe des Dreiecks ist.
Ist die Seite des Dreiecks \(a\) gegeben, dann ist .
Deshalb ist .Inkreisradius
Der Inkreishadius ist . Da ist .
Rechtwinkliges Dreieck
Umkreisradius
Er ist gegeben als , wobei \(c\) die Länge der Hypotenuse ist.
Inkreisradius
, wobei \(A\) der Flächeninhalt des Dreiecks und \(u\) der halbe Umfang ist.
Allgemeines Dreieck
Umkreisradius
Es ist (mittels des Satzes von Heron), bzw.
\(R=\frac{a}{2\sin \alpha}=\frac{b}{2\sin \beta}=\frac{c}{2\sin \gamma}\). Diese Formel folgt aus dem Sinussatz.
Inkreisradius
, wobei \(u\) der halbe Umfang ist.