Kürzen von algebraischen Brüchen — Theoretisches Material. Mathematik, 8. Schulstufe.

Um einen algebraischen Bruch zu kürzen, faktorisiert man den Zähler und den Nenner. Stellt sich heraus, dass der Zähler und der Nenner einen gemeinsamen Faktor haben, dürfen sie gekürzt werden.

Die Methoden des Faktorisierens von Polynomen:

- Herausheben;

- Anwendung der binomischen Formeln;

- Gruppieren.

	- der Bruch wird durch das Binom \((m + 2)\) gekürzt;
	- der Zähler und der Nenner des Bruches werden faktorisiert; danach wird der Bruch durch den gemeinsamen Faktor \((x - y)\) gekürzt;
	- der Zähler und der Nenner des Bruches werden faktorisiert, und der Bruch wird durch \((a - b)\) gekürzt.
	- der Zähler des Bruches wird mithilfe der ersten binomischen Formel faktorisiert; im Nenner wird der gemeinsame Faktor herausgehoben; dann wird der Bruch mit dem gemeinsamen Faktor \((m + n)\) gekürzt.

Die binomischen Formeln, die man beim Kürzen von Brüchen anwenden kann

Die erste binomische Formel

{(a + b)}^{2} = a^{2} + 2 ab + b^{2}

;

Die zweite binomische Formel

{(a - b)}^{2} = a^{2} - 2 ab + b^{2}

;

Die dritte binomische Formel

a^{2} - b^{2} = (a - b) (a + b)

;

Die erste binomische Formel dritten Grades

a^{3} + b^{3} = (a + b) (a^{2} - ab + b^{2})

;

Die zweite binomische Formel dritten Grades

a^{3} - b^{3} = (a - b) (a^{2} + ab + b^{2})

Beispiel:

Kürze den Bruch

\frac{x^{2} - 4}{x^{2} - 4 x + 4}

Lösung:

1. Man faktorisiert den Zähler und den Nenner des Bruches durch Anwendung der dritten und der zweiten binomischen Formel:

\frac{x^{2} - 4}{x^{2} - 4 x + 4} = \frac{(x - 2) (x + 2)}{{(x - 2)}^{2}}

2. Man kürzt den Bruch durch den gemeinsamen Faktor \((x-2)\).

Forme den Bruch

\frac{2}{x + 2}

so um, dass der Nenner zu

3 x^{2} - 12

wird.

Lösung:

1. Um zu verstehen, wie man den Bruch

\frac{2}{x + 2}

erweitert, faktorisiert man den Term

3 x^{2} - 12

3 x^{2} - 12 = 3 (x^{2} - 4) = 3 (x - 2) (x + 2)

2. Man vergleicht den berechneten Term mit dem Nenner des ursprünglichen Bruches, \(x+2\), und sieht, dass man den Bruch mit \(3(x-2)\) erweitern muss.