Theorie:
Als Term bezeichnet man einen Ausdruck, der sich aus folgendem (oder Teilen davon) zusammensetzt:
- Zahlen
- Variablen
- Symbole für mathematische Operationen
- Klammern
Kommen in einem Term keine Variablen vor, bzw. werden die Variablen durch Werte ersetzt, kann man den Wert des Terms/Ausdrucks berechnen:
Die Zahl, die man im Ergebnis der Berechnung eines Zahlenausdrucks erhält, nennt man Wert des Ausdrucks.
Wichtig!
Division durch null ist nicht definiert!
Beispiel:
Der Wert des Zahlenausdrucks ist \(10\).
Der Ausdruck ist nicht definiert.
Der Ausdruck ist nicht definiert.
Beinhaltet ein Term auch Variablen, nennt man einen solchen Ausdruck algebraischen Ausdruck.
Algebraische Ausdrücke
Die Definitionsmenge (oder der Definitionsbereich) eines Ausdrucks besteht aus den Zahlen, für die dieser Ausdruck definiert ist.
Beispiel:
Bestimme die Definitionsmenge des Ausdrucks .
Lösung: Der algebraische Bruch ist für alle Werte der Variablen \(x\) definiert, für die der Nenner des Bruches \(x( x + 8 )\) ungleich \(0\) ist. Um die \(x\)-Werte zu bestimmen, die nicht zum Definitionsbereich gehören, setzt man den Nenner \(x( x + 8 )\) null, d.h. man löst die Gleichung:
\(x ( x + 8 ) = 0\).
Wir erhalten als Lösungen:
\(x = 0\) und \(x + 8 = 0\)
\(x = - 8\).
Antwort: Der Definitionsbereich des algebraischen Bruches sind alle reelle Zahlen außer \(0\) und \(-8\).
Die algebraischen Ausdrücke werden in rationale und irrationale Ausdrücke eingeteilt, hier betrachten wir nur rationale Ausdrücke.
Ein rationaler algebraischer Ausdruck ist ein Ausdruck, der neben den vier Grundrechnungsarten nur Potenzen (mit einem natürlichen Grad) enthält. Er enthält also keine Wurzeln oder nichtganzzahlige Exponenten.
Enthält ein rationaler Ausdruck keine Division durch einen Ausdruck mit Variablen, nennt man ihn Term.
Beispiel:
Terme sind beispielsweise:
Bruchterme sind:
Ein rationaler Bruchterm ist für die Werte der Variablen definiert, für die der Nenner des Bruches ungleich null ist.
Beispiel:
1) Der Term ist für alle Werte der Variablen \(y\) definiert. Die Definitionsmenge besteht aus allen reellen Zahlen.
2) Der Bruchterm ist nicht definiert, wenn \(x = 8\), da der Nenner \(x - 8 = 0\) wird. Deshalb besteht der Definitionsbereich des Bruchterms aus allen reellen Zahlen außer \(8\).
Ein rationaler Bruchterm, dessen Zähler und Nenner jeweils ein Polynom ist, nennt man algebraischen Bruch.