10. Erlös und Gewinn

Eine Digital-Siegelreflexkamera wird zu einem Stückpreis von \(989 Eur\) angeboten. Ein Produktionsbetrieb kann monatlich maximal 1847 Stück dieses Produkts herstellen. Es wird dabei angenommen, dass der Verkaufspreis unabhängig von der verkauften Stückzahl \(x\) konstant gehalten wird und alle produzierten Stücke auch verkauft werden. Die Funktion \(K\) mit \(K(x) = 0,00077 x^3 – 0,836 x^2 + 443 x +320614\) beschreibt die Gesamtkosten \(K\) für die Produktion in Abhängigkeit von der produzierten Stückzahl \(x\).  Die Graphen einer Kostenfunktion \(K\) (grün) und einer Erlösfunktion \(E\) (schwarz) sind in der nachstehenden Grafik dargestellt. 

 

 

Der pinkerotegelbeblaue Graph ist der der Gewinnfunktion.

 

 Eine Stückpreisänderung wurde vorgenommen und hat bewirkt, dass der Break-even Point bei einer geringeren Stückzahl erreicht wird. Geben Sie an, wie der Stückpreis verändert wurde und welchen Einfluss diese Veränderung auf die Lage der Nullstellen der Gewinnfunktion \(G\) und den Gewinnbereich hat! 

Der Stückpreis muss gleich bleibenverringert werdenerhöht werden. Die Nullstellen bleiben unverändertliegen enger zusammenliegen weiter auseinander, das heißt, der Gewinnbereich wird kleinerwird größerändert sich nicht.

 

b) Erstellen Sie die Gleichung der Gewinnfunktion \(G\)! Berechnen Sie diejenige Stückzahl, bei der der Gewinn maximal wird!  (Runden Sie den ersten Koeffizienten auf fünf, den zweiten auf drei Nachkommastellen)

$G(x)=i{x}^3+i{x}^2+ix-i$.

 

Der maximale Gewinn wird bei einer Stückzahl von  erzielt.

c) In der nachstehenden Grafik wurde die Erlösfunktion so abgeändert, dass die Graphen der Kostenfunktion \(K\) und der Erlösfunktion \(E_{\mathbb{neu}}\) einander im Punkt \(T\) berühren.  Bestimmen Sie die Gleichung der Erlösfunktion \(E_{\mathbb{neu}}\)!    

 

 

Interpretieren Sie die Koordinaten des Punktes \(T\) im gegebenen Kontext und erklären Sie, welche Auswirkungen die Änderung der Erlösfunktion auf den Gewinnbereich hat!

 

Die Gleichung der Erlösfunktion \(E_{\mathbb{neu}}\) lautet

$E_{\mathit{neu}}(x)=\frac{i_i}{i_i}\cdot i$.

 

Nur bei der Produktionsmenge von $i_i$ Stück wird genau kostendeckend produziert.  Kosten und Erlös betragen je $i_i\mathit{Eur}$.  Bei dieser Produktionsmenge ist es nicht möglichmöglich, mit Gewinn zu produzieren.