Theorie:
Zunächst ein paar Grundregeln:
- Wenn wir eine negative Zahl als Basis haben, können wir nur ganzzahlige Exponenten haben, z.B.
\[ (-2)^0 = +1 \,, \quad (-2)^1 = -2 \,, \quad (-2)^2 = +4 \,, \quad (-2)^3 = -8 \, \;\; \text{etc.} \]
Wie wir sehen, können wir damit nur bestimmte positive und negative Zahlen erzeugen. Für andere als diese ganzzahligen Potenzen erhalten wir keinen möglichen Exponenten. Aus diesem Grund macht ein Logarithmus zu einer negativen Basis somit in den meisten Fällen keinen Sinn. Logarithmen zu einer negativen Basis sind daher nicht definiert.
- Die Potenz von Eins zu jeder beliebigen Zahl ist wieder gleich eins. Somit gibt es keinen möglichen Logarithmus zur Basis 1, denn \( 1^x = a \) hat keine Lösung, falls \(a\neq 1\) ist, aber unendlich viele Lösungen, falls \(a=1\) ist.
Ähnliches gilt für eine Basis Null, denn \(0^x =0 \) für jede positive Zahl \(x>0\). Für \(x<0\) ist kein Ergebnis definiert, und \(0^0 = 1\). Wir können also außer 0 und 1 keine Zahlen als Potenzen der Zahl Null erzeugen.
Aus diesem Grund sind auch Logarithmen zu einer Basis 0 oder 1 nicht definiert.
- Da wir nur noch positive Zahlen als erlaubte Basen haben, können wir auch nur positive Zahlen als Ergebnis einer Potenz erhalten. Denn für \(x>0\) ist
\[ z = b^x \]
ohnehin positiv, und für ein negatives \(x=-n\) ist nach der Regel für negative Exponenten
\[ z = b^x = b^{-n} = \frac{1}{b^n} \]
wiederum positiv, denn Eins dividiert durch eine positive Zahl ist wieder positiv.
Daher darf das Argument des Logarithmus (der Numerus) nur eine positive Zahl sein.
Wir fassen das zusammen: \(\log_b z \), also der Logarithmus der Zahl \(z\) zur Basis \(b\), ist nur dann definiert, wenn die folgenden Voraussetzungen erfüllt sind:
- Die Basis \(b\) muss eine positive Zahl sein, die nicht gleich Eins ist: \(b>0\) und \(b\neq 1\).
- Das Argument \(z\) muss eine positive Zahl sein: \(z>0\).
Falls beide Bedingungen erfüllt sind, gibt es einen eindeutigen Logarithmus.
Mit den meisten neueren Taschenrechnern lassen sich Logarithmen zu einer beliebigen (erlaubten) Basis berechnen. Wenn eine der beiden oben stehenden Bedingungen nicht erfüllt ist, geben sie eine Fehlermeldung aus.
Ältere Taschenrechner bieten oft nur die Möglichkeit, Logarithmen zur Basis 10 und den sogenannten natürlichen Logarithmus zur Basis der irrationalen Zahl \(e=2,7182818284\ldots \) zu berechnen. Das ist aber kein Problem, denn man kann den Logarithmus zu jeder Basis durch den Logarithmus zu einer anderen Basis berechnen (dazu in einer der nächsten Theorieeinheiten mehr).