Theorie:

Flächeninhalt eines Parallelogramms
Wir bestimmen zuerst die Höhe eines Parallelogramms.
 
Die Höhe ist ein Lot, das aus einem beliebigen Punkt auf der Seite eines Parallelogramms auf  die gegenüberliegende parallele Seite gefällt wird. Da ein Parallelogramm aus zwei Paaren von parallelen Seiten besteht, hat es zwei Höhen von unterschiedlichen Längen.
 
Die Höhe \(BE\), die zwischen den längeren Seiten liegt, ist kürzer als die Höhe \(BF\), die zwischen den kürzeren Seiten liegt.
 
Pgrama_augst.png
 
Da die Seiten der Raute gleich lang sind, sind die Höhen der Raute auch gleich lang \(BE = BF\).
 
Romba_augst.png 
Flächeninhalt eines beliebigen Parallelogramms
Der Flächeninhalt eines Parallelogramms ist das Produkt aus der Länge der Höhe und der Seitenlänge der Seite, auf die die Höhe steht.
Pgrama_lauk1.png
 
Die rechtwinkelige Dreiecke \(ABE\) und \(DCF\) sind kongruent, da sie gleich lange Hypotenusen und gleich lange Katheten besitzen.
Das Parallelogramm \(ABCD\) und das Rechteck \(EBCF\) haben dieselben Flächen, weil sie aus gleich großen Figuren bestehen:
 
AABCD=AABE+AEBCDAEBCF=AEBCD+ADCF
 
Das bedeutet, dass der Flächeninhalt des Parallelogramms wie der Flächeninhalt  des Rechtecks berechnet wird:
 
AEBCF=BEBCAABCD=BEBC=BCAD
 
Bezeichnet man die Seite mit \(a\) und die Höhe mit \(h\), erhält man:
 
AParallelogramm=ah
 
Flächeninhalt einer Raute
Die Diagonalen einer Raute halbieren einander in ihrem Schnittpunkt. Sie stehen senkrecht aufeinander und teilen die Raute in vier kongruente rechtwinkelige Dreiecke.
 
Romba_lauk.png
 
AABCD=4AABO=4BOAO2=2BOAO
 
Die Formel für den Flächeninhalts einer Raute ist also:
 
ARaute=d1d22
 
Diese Formel ist für die Bestimmung jedes beliebigen Vieleckes geeignet, wenn seine Diagonalen senkrecht aufeinander stehen.
 
Da die Diagonalen eines Quadrates gleich lang sind, reicht es, die Länge einer Diagonalen zu kennen:
 
AQuadrat=d22
Flächeninhalt eines beliebigen Dreiecks
Da die Diagonale eines Parallelogramms es in zwei kongruente Dreiecke teilt, ist der Flächeninhalt eines Dreiecks gleich der Hälfte des Flächeninhalts eines Parallelogramms.
 
Trijst_lauk1.png
 
 
ADreieck=aha2, wobei \(h\) die Höhe ist (in der Zeichnung \(BE\)), die auf die Seite \(a\) fällt (in der Zeichnung \(AD\)).
 
Um den Flächeninhalt des Dreiecks zu bestimmen, kann man jede beliebige Seite und die auf diese Seite fallende Höhe verwenden.  
  
Flächeninhalt eines rechtwinkeligen Dreiecks
Da die Katheten eines rechtwinkeligen Dreiecks senkrecht aufeinander stehen, kann eine Kathete als Höhe und die zweite Kathete als Seite auf die die Höhe fällt, aufgefasst werden. Man erhält die Formel:
 
A=ab2, wobei \(a\) und \(b\) die Katheten sind.
 
Für ein rechtwinkeliges Dreieck kann auch die Formel zur Berechnung des Flächeninhalts eines beliebigen Dreiecks angewandt werden.
 
Flächeninhalt eines Trapezes
Ein Trapez hat zwei parallele Seiten, also hat es eine Höhe, dh. ein Lot, das zwischen zwei parallelen Seiten gezogen ist.
 
 
 
Trapeces_augst.png
 
Der Flächeninhalt des Trapezes wird als die Summe der Flächen von Dreiecken definiert, in die das Trapez von den beiden Diagonalen aufgeteilt wird.
 
Trapeces_lauk.png
 
AABCD=AABD+ADBCAABCD=ADBE2+BCDF2=ADBE2+BCBE2==AD+BCBE2
 
Bezeichnet man die parallelen Geraden (die Grundseiten) des Trapezes mit \(a\) und \(b\), und die Höhe des Trapezes mit \(h\), erhält man:
 
ATrapez=a+b2h
Wichtig!
Schlussfolgerungen:
 
1. Sind die Höhen der Dreiecke gleich lang, entsprechen die Flächeninhalte dieser Dreiecke den Längen ihrer Basen.
 
2. Sind die Basen der Dreiecke gleich lang, entsprechen die Flächeninhalte dieser Dreiecke den Längen ihrer Höhen.
 
3. Sind die Höhen der Dreiecke und die Basen gleich lang, haben diese Dreiecke dieselbe Fläche.