Faktorisieren durch Gruppieren — Theoretisches Material. Mathematik, 7. Schulstufe.

Wenn es keinen gemeinsamen Faktor für alle Glieder des Polynoms gibt, vertauscht man die Glieder des Polynoms so, dass Paare von Summanden einen gemeinsamen Faktor haben. Diesen Faktor kann man dann herausheben.

Wichtig!

Vorgehensweise:
1. Man gruppiert die Glieder eines Polynoms in Gruppen, die einen gemeinsamen Faktor haben.
2. Der gemeinsame Faktor wird herausgehoben.
3. Das so entstandene Polynom kann wiederum einen gemeinsamen Faktor haben, den man herausheben kann.

Beispiel:

Aufgabe: Zerlege \(up – bp + ud – bd\) in Faktoren

Lösung:

Möglichkeit 1	Möglichkeit 2
\(up – bp + ud – bd = (up – bp) + (ud – bd)\) In der ersten Gruppe wird der gemeinsame Faktor \(p\) herausgehoben; in der zweiten Gruppe wird der gemeinsame Faktor \(d\) herausgehoben: \(p(u – b) + d(u – b)\) In dieser Form ist der gemeinsame Faktor \(u – b\). Er wird ebenfalls herausgehoben. \((u – b) (p+d)\)	\(up – bp + ud – bd = (up + ud) – (bp + bd)\) In der ersten Gruppe wird der gemeinsame Faktor \(u\) herausgehoben; in der zweiten Gruppe wird der gemeinsame Faktor \(b\) herausgehoben: \(u(p + d) – b(p + d)\) In dieser Form ist der gemeinsame Faktor \(p + d\). Er wird ebenfalls herausgehoben. \((p + d)(u – b)\).

1. Zerlege den Ausdruck \(c(a-b)+d(a-b)\) in Faktoren.

Lösung:
Der gemeinsame Faktor \(a – b\) wird herausgehoben und man erhält

\((a – b)(c + d)\).

2. Zerlege den Ausdruck \(5x-12z(x-y)-5y\) in Faktoren.

Lösung:

\(5x-12z(x-y)-5y=5x-5y-12z(x-y)=5(x-y)-12z(x-y)=(x-y)(5-12z)\).

3. Zerlege das Polynom

t^{3} - 6 t^{2} y + 2 ty - 12 y^{2}

in Faktoren.

Lösung:

Man gruppiert die Faktoren zu:

t^{3} - 6 t^{2} y + 2 ty - 12 y^{2} = (t^{3} - 6 t^{2} y) + (2 ty - 12 y^{2})

In der ersten Gruppe wird der gemeinsame Faktor

t^{2}

, in der zweiten Gruppe wird \(− 2 y\) herausgehoben.

Man erhält

(t^{3} - 6 t^{2} y) + (2 ty - 12 y^{2}) = t^{2} (t - 6 y) + 2 y (t - 6 y)

Der gemeinsame Faktor beider Summanden, \(( t – 6 y )\), kann auch herausgehoben werden. Das ergibt

t^{2} (t - 6 y) + 2 y (t - 6 y) = (t - 6 y) (t^{2} + 2 y)

4. Zerlege das Polynom

{ax}^{2} - {bx}^{2} + bx - ax + a - b

in Faktoren:

Lösung:
Man gruppiert die Summanden in drei Gruppen von zwei Faktoren. Danach wird der gemeinsame Faktor jeder Gruppe herausgehoben. Dabei erhalten wir:

{ax}^{2} - {bx}^{2} + bx - ax + a - b = ({ax}^{2} - {bx}^{2}) + (bx - ax) + (a - b) = x^{2} (a - b) - x (a - b) + (a - b)

Man erhält drei Summanden, die den gemeinsamen Faktor \(a-b\) haben. Dieser wird ebenfalls herausgehoben und wir erhalten:

x^{2} \underline{(a - b)} - x \underline{(a - b)} + 1 \cdot \underline{(a - b)} = (a - b) (x^{2} - x + 1)

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1. Faktorisieren durch Gruppieren

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