Theorie:
Pythagoras (570 – 490 Jahre v.Chr.) war ein bedeutender griechischer Mathematiker und Philosoph.
Pythagoras (570 – 490 Jahre v.Chr.)
Die Philosophie des Pythagoras und seine Lebensart hatten viele Nachfolger, aber auch viele Gegner.
Als ein Mathematiker hatte Pythagoras großen Erfolg. Einer der bekanntesten Sätzen in der Geometrie ist der Satz des Pythagoras.
Als ein Mathematiker hatte Pythagoras großen Erfolg. Einer der bekanntesten Sätzen in der Geometrie ist der Satz des Pythagoras.
Der Flächeninhalt des Quadrats, das an der Hypotenuse eines rechtwinkeligen Dreieckes konstruiert wird, ist gleich groß wie die Summe der Flächeninhalte der Quadrate, die an den Katheten dieses Dreiecks konstruiert sind.
In der Geschichte der Mathematik kann man Hinweise finden, dass dieser Satz schon lange vor der Zeit des Pythagoras bekannt war.
Der Satz wird meist in folgender Form verwendet:
In einem rechtwinkeligen Dreieck ist die Summe der Flächen der Kathetenquadrate gleich der Fläche des Hypotenusenquadrates .
Beweis:
1. Wir konstruieren ein Quadrat, dessen Seite gleich lang ist wie die Summe der Kathetenlängen des oben gegebenen Dreiecks, also . Der Flächeninhalt des Quadrates beträgt :
2. Zeichnet man die Hypotenusen \(c\) ein, sieht man, dass sie ein Quadrat innerhalb des konstruierten Quadrats bilden.
Die Seitenlänge dieses Quadrats ist (\(c\)), und die Winkel sind rechte Winkel, da die Summe der spitzen Winkel eines rechtwinkeligen Dreiecks beträgt.
Also besteht das äußere Quadrat aus den vier rechtwinkeligen Dreiecken und einem Quadrat, das von der Hypotenusen der Dreiecke gebildet wird:
3. Auf zwei einander anliegenden Seiten des Quadrates vertauscht man die Strecken \(a\) und \(b\), dabei werden die Seitenlängen des Quadrats nicht geändert, und auch sein Flächeninhalt bleibt gleich.
Man sieht, dass das äußere Quadrat jetzt aus zwei Quadraten und zwei Rechtecken besteht, die von den Katheten \(a\) und \(b\) gebildet werden:
4. Daraus folgt:
und .
Das ist einer der Beweise des Satzes des Pythagoras.
Wichtig!
Will man die Länge der Hypotenuse \(c\) bestimmen, addiert man die Quadrate der Kathetenlängen \(a\) und \(b\) und zieht die Quadratwurzel:
Will man die Länge einer Kathete bestimmen, subtrahiert man das Quadrat der zweiten Kathetenlänge vom Quadrat der Hypotenusenlänge und zieht die Quadratwurzel:
Die Umkehrung des Satzes wird als Charakteristikum eines rechtwinkeligen Dreiecks benutzt.
Ist das Quadrat einer Seitenlänge eines Dreiecks gleich der Summe der Quadrate der zwei anderen Seitenlängen, dann ist das Dreieck rechtwinkelig.
Beispiel:
Ist das Dreieck mit Seitenlängen \(6\) cm, \(7\) cm und \(9\) cm rechtwinkelig?
Um das zu bestimmen, muss man die Gültigkeit des Satzes von Pythagoras überprüfen:
, d.h. dieses Dreieck ist nicht rechtwinkelig.
Ist das Dreieck mit den Seitenlängen \(5\) cm, \(12\) cm und \(13\) cm rechtwinkelig?
, d.h. dieses Dreieck ist rechtwinkelig.
Unten kann man noch einen besonderen Beweis vom Satz des Pythagoras sehen:
Quellen:
http://linguaggio-macchina.blogspot.com