Theorie:
Traditionell werden Winkel in Grad gemessen: Dein Geodreieck hat wahrscheinlich Markierungen zum Gradmessen, ein Kompass gibt die Himmelsrichtung in Grad an, Längen- und Breitengrade werden oft auch in Graden angegeben.
Einige Werte sind ausgezeichnet, und kommen sogar im Alltag häufig vor: So hat ein rechter Winkel \(90^\circ\), die Winkelsumme in einem Dreieck sind immer \(180^\circ\), und ein voller Umlauf eines Uhrzeigers hat \(360^\circ\).
Nun gibt es in der Mathematik noch eine andere weit verbreitete Möglichkeit, Winkel zu messen: Das Bogenmaß. Das Bogenmaß mag im Alltag unpraktischer sein, ist aber in der (höheren) Mathematik eindeutig die "natürlichere" Art, Winkel zu messen. Zum Beispiel in der Trigonometrie und bei der Polardarstellung von komplexen Zahlen (siehe spätere Kapitel) sind Winkel im Bogenmaß die einfachere Wahl.
Doch was ist nun dieses Bogenmaß? Im Grunde hängt das Bogenmaß mit Grad einfach linear zusammen:
Das Bogenmaß ist eine Möglichkeit, Winkel anzugeben. Die entsprechende Einheit heißt Radiant, und die Umrechnung zwischen Grad und Radiant erfolgt gemäß folgender Formel:
\(\displaystyle [\text {Radiant}]=\frac{[\text{Grad}]\cdot \pi}{180}\).
Man sagt: Ein Winkel ist im Bogenmaß angegeben, er ist soundsoviel Radiant.
Winkel in Grad werden mit dem Gradsymbol "\(^\circ\)" gekennzeichnet. Winkel im Bogenmaß werden nicht extra gekennzeichnet. Das Gradsymbol impliziert gewissermaßen die Umrechnung, wir sagen beispielsweise: \(180^\circ\) sind \(\pi\) Radiant! (Das ist genauso, wie \(1,4\,\text{kg}\) dasselbe ist wie \(1400\,\text{g}\).)
Seinen Namen hat das Bogenmaß aus der Berechnung von Bogenlängen von Kreisen. Dies ist auch ein gutes Beispiel für die Praktikabilität des Bogenmaßes. Hat man einen Kreis mit Radius \(r=14\), und nimmt man daraus einen Kreissektor mit Winkel \(37^\circ\), so berechnet sich die Länge des zugehörigen Kreisbogens durch
\(\displaystyle L=14\cdot 37\cdot\frac{2\cdot \pi}{360}\).
Das ist also der Radius mal dem Winkel in Grad, mal dem Faktor \(\frac{2\cdot \pi}{360}\). Dieser Faktor ist unabhängig vom Winkel, und wie wir wissen, der Umrechnungsfaktor zwischen Grad und Bogenmaß. Der Winkel von \(37^\circ\) ist etwa \(0,64577\) Radiant. Die Bogenlänge ist also
\(\displaystyle L\approx 14\cdot 0,64577\approx 9,041\).
Das heißt: Liegt der Winkel eines Kreissektors in Radiant vor, dann ist die Länge des zugehörigen Kreisbogens einfach "Radius mal Winkel".