1. Koordinaten eines Punktes und eines Vektors

Die drei zueinander paarweise orthogonalen Geraden bilden ein Koordinatensystem im Raum. Der Schnittpunkt aller drei Geraden ist der Ursprung des Koordinatensystems.

 

 

Die \(x\)-Achse wird auch Abszissenachse, die \(y\)-Achse Ordinatenachse und die \(z\)-Achse Applikatenachse genannt. 

Von jeweils zwei Achsen wird eine Ebene aufgespannt. Insgesamt bekommt man drei Koordinatenebenen, die \((xy)\)-, \((yz)\)- und \((xz)\)-Ebene.

 

 

Die Lage des Punktes \(A\) wird durch seine drei Koordinaten \(x\), \(y\) und \(z\) bestimmt.

 

 

Man schreibt: \(A(x; y; z)\).

Liegt ein Punkt auf der \(x\)-Achse, sind seine Koordinaten \(X(x; 0; 0)\), liegt er auf der \(y\)-Achse, sind seine Koordinaten \(Y(0; y; 0)\) und falls er auf der \(z\)-Achse liegt, sind seine Koordinaten \(Z(0; 0; z)\).

 

Ebenso gilt:

Liegt der Punkt in der \(xy\)-Ebene, sind seine Koordinaten $A_1\left(x;y;0\right)$, falls er in der \(yz\)-Ebene liegt, sind seine Koordinaten $A_2\left(0;y;z\right)$. Liegt der Punkt in der \(xz\)-Ebene, sind seine Koordinaten $A_3\left(x;0;z\right)$.

 

Trägt man vom Ursprung des Koordinatensystems die Einheitsvektoren $\overrightarrow{i}$, $\overrightarrow{j}$ und $\overrightarrow{k}$ ab, so erhält man die rechtwinkelige Basis des Koordinatensystems. Ein beliebiger Vektor kann in die Einheitsvektoren zerlegt und als $\overrightarrow{\mathit{OA}}=x\cdot \overrightarrow{i}+y\cdot \overrightarrow{j}+z\cdot \overrightarrow{k}$ dargestellt werden.

Die Koeffizienten \(x\), \(y\) und \(z\) sind eindeutig bestimmt und werden Koordinaten des Vektors genannt.

 

Man schreibt: $\overrightarrow{\mathit{OA}}\left\{x;y;z\right\}$.