Theorie:
Wiederholung: Winkel zwischen Vektoren
Zwei Vektoren und bilden immer einen Winkel.
Der Winkel zwischen den Vektoren kann von bis betragen.
Sind die Vektoren nicht parallel, können sie auf den einander schneidenden Geraden angeordnet werden.
Die Vektoren können die folgenden Winkel bilden:
1. einen spitzen Winkel
2.einen stumpfen Winkel
3. einen rechten Winkel (Vektoren sind zueinander orthogonal)
Liegen die Vektoren auf den parallelen Geraden, können sie die folgenden Winkel bilden:
4. den Winkel von (die Vektoren sind parallel)
5. den Winkel von (Vektoren sind antiparallel)
Ist einer der Vektoren oder die beiden Vektoren die Nullvektoren, beträgt der Winkel zwischen ihnen .
Den Winkel zwischen den Vektoren bezeichnet man:
Skalarprodukt von Vektoren
Das Skalarprodukt zweier Vektoren ist gegeben als:
Das Skalarprodukt von Vektoren ist eine Zahl im Gegensatz zu den anderen Rechenoperationen Addition, Subtraktion und Multiplikation mit einer Zahl. In diesen Fällen ist das Ergebnis ein Vektor.
Bei der Multiplikation eines Vektors mit einem Vektor bekommt man eine Zahl, weil die Längen der Vektoren Zahlen sind, und der Kosinus des Winkel auch eine Zahl ist. Deshalb ist ihr Produkt auch eine Zahl.
1. Ist der Winkel zwischen den Vektoren spitz, ist das Skalarprodukt eine positive Zahl (weil der Kosinus des spitzen Winkels eine positive Zahl ist).
Sind die Vektoren parallel, beträgt der Winkel zwischen ihnen , und sein Kosinus beträgt \(1\). In diesem Fall ist das Skalarprodukt auch positiv.
2. Ist der Winkel zwischen den Vektoren stumpf, ist das Skalarprodukt negativ (weil der Kosinus eines stumpfen Winkels eine negative Zahl ist).
Sind die Vektoren antiparallel, beträgt der Winkel zwischen ihnen . Das Skalarprodukt ist in diesem Fall auch negativ, weil Kosinus dieses Winkels \(-1\) beträgt.
Umgekehrt gilt auch:
1. Ist das Skalarprodukt von Vektoren eine positive Zahl, ist der Winkel zwischen den gegebenen Vektoren spitz.
2. Ist das Skalarprodukt von Vektoren eine negative Zahl, ist der Winkel zwischen den gegebenen Vektoren stumpf.
Sonderfall:
Wichtig!
3. Ist der Winkel zwischen den Vektoren ein rechter Winkel, so ist das Skalarprodukt dieser Vektoren null, weil der Kosinus eines rechten Winkels \(0\) ist.
Umgekehrt:
Ist das Skalarprodukt von Vektoren gleich Null, sind diese Vektoren zueinander orthogonal.
Eigenschaften des Skalarprodukts
Für einen beliebigen Vektor und eine beliebigen Zahl gilt:
1. ; dabei , wenn .
2. Das Kommutativgesetz des Skalarprodukts: .
3. Das Distributivgesetz des Skalarprodukts: .
4. Das Assoziativgesetz des Skalarprodukts: .
Verwendung des Skalarprodukts
Es ist bequem das Skalarprodukt von Vektoren zur Bestimmung der Winkel zwischen den Geraden oder zwischen einer Geraden und einer Ebene zu verwenden.
Schnittwinkel zweier Geraden
Ein Vektor wird Richtungsvektor einer Geraden genannt, wenn er auf dieser Geraden liegt oder parallel zu ihr ist.
Um den Kosinus des Schnittwinkels zweier Geraden zu bestimmen, bestimmt man den Kosinus des Winkels zwischen den Richtungsvektoren dieser Geraden, d.h. man findet die Vektoren, die parallel zu den Geraden sind und berechnet den Kosinus des Winkels zwischen diesen Vektoren.
Wenn und gegeben sind, dann ist .
Aus der Formel zur Berechnung des Skalarprodukts folgt, dass
,
.
Winkel zwischen Gerade und Ebene
Ein Normalvektor einer Ebene ist ein beliebiger Vektor (mit Ausnahme des Nullvektors), der auf einer senkrecht auf die gegebene Ebene stehenden Geraden liegt.
Die Abbildung zeigt, dass der Kosinus des Winkels zwischen den Normalenvektor der gegebenen Ebene un dem Vektor dem Sinus des Winkels zwischen der Geraden und der Ebene entspricht, weil und zusammen den Winkel von bilden.
Zur Berechnung des Kosinus des Winkels zwischen und bestimmt man den Sinus des Winkels zwischen der Geraden, auf der der Vektor liegt, und der Ebene.