3. Parallelität von Ebenen

 

Parallele Ebenen $\mathrm{\alpha }$ und $\mathrm{\beta }$ werden so bezeichnet: $\mathrm{\alpha }\parallel \mathrm{\beta }$.

 

 

 

Benennen wir mit $\mathrm{\alpha }$ und $\mathrm{\beta }$ die gegebenen Ebenen. $a_1$ und $a_2$ sind die einander schneidenden Geraden in der Ebene $\mathrm{\alpha }$, und $b_1$ und $b_2$ sind die zu diesen Geraden entsprechend parallelen Geraden in der Ebene $\mathrm{\beta }$.

 

Man nimmt an, dass die Ebenen $\mathrm{\alpha }$ und $\mathrm{\beta }$ nicht parallel sind, d.h. sie schneiden einander in einer Geraden \(c\).

Die Gerade $a_1$ verläuft parallel zu der Geraden $b_1$, d.h. sie verläuft parallel auch zur Ebene $\mathrm{\beta }$.

Die Gerade $a_2$ verläuft parallel zu der Geraden $b_2$, d.h. sie verläuft parallel auch zur Ebene $\mathrm{\beta }$ (Merkmal der Parallelität von Gerade und Ebene).

 

Die Gerade \(c\) gehört zu der Ebene $\mathrm{\alpha }$. Das bedeutet, dass mindestens eine der Geraden $a_1$ oder $a_2$ die Gerade \(c\) schneidet, d.h. damit einen gemeinsamen Punkt hat. Die Gerade \(c\) gehört aber auch zu der Ebene $\mathrm{\beta }$, d.h. beim Schneiden der Geraden \(c\), schneidet die Gerade $a_1$ oder $a_2$ die Ebene $\mathrm{\beta }$. Das ist aber nicht möglich, weil die Geraden $a_1$ und $a_2$ parallel zu der Ebene $\mathrm{\beta }$ verlaufen.

Daraus folgt, dass die Ebenen $\mathrm{\alpha }$ und $\mathrm{\beta }$ einander nicht schneiden, d.h. sie sind parallel.

 

Man nimmt an, dass $\mathrm{\alpha }$ und $\mathrm{\beta }$ die parallelen Ebenen sind, und $\mathrm{\gamma }$ ihre Schnittebene ist.

Die Ebene $\mathrm{\alpha }$ schneidet die Ebene $\mathrm{\gamma }$ in der Geraden \(a\).  

Die Ebene $\mathrm{\beta }$ schneidet die Ebene $\mathrm{\gamma }$ in der Geraden \(b\). 

 

Die Schnittlinien von \(a\) und \(b\) liegen in einer Ebene ($\mathrm{\gamma }$), deshalb können sie einander entweder schneiden, oder parallel sein (sie können jedoch nicht windschief sein). Da sie zu den zwei parallelen Ebenen gehören, können sie keine gemeinsamen Punkte haben. Folglich sind sie parallel.

  

 

Man nimmt an, dass $\mathrm{\alpha }$ und $\mathrm{\beta }$ die parallelen Ebenen sind, und \(a\) und \(b\) die parallelen Geraden sind, die die gegebenen Ebenen schneiden.

Durch die Geraden \(a\) und \(b\) kann man eine Ebene legen - diese Geraden sind parallel, d.h. sie definieren eine einzige Ebene.

Die gelegte Ebene schneidet die Ebene $\mathrm{\alpha }$ in der Geraden \(AB\), und die Ebene $\mathrm{\beta }$ in der Geraden \(CD\). 

Gemäß dem vorigen Satz sind die Geraden \(AB\) und \(CD\) parallel. Das Viereck \(CBAD\) ist ein Parallelogramm (seine gegenüberliegenden Seiten sind parallel). Ist das ein Parallelogramm, sind seine gegenüberliegenden Seiten gleich lang, d.h. \(BC = AD\).