Theorie:

Aus einem Axiom der Stereometrie wissen wir: haben zwei unterschiedliche Ebenen einen gemeinsamen Punkt, schneiden sie einander in einer Geraden, die durch dieser Punkt verläuft. Das bedeutet, dass zwei Ebenen einander entweder schneiden, oder einander nicht schneiden können.
 
Ebenen, die einander nicht schneiden, werden parallel genannt.
Parallele Ebenen α und β werden so bezeichnet: αβ.
Beispiel:
Jede beliebige Baukonstruktion mit einer Decke, einem Boden und Wänden gibt eine Vorstellung über parallele Ebenen - der Boden und die Decke sind die zwei parallelen Ebenen, und die Wände sind zwei parallele Ebenen.
Paralelas_plaknes_04.jpg
 
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Merkmal der Parallelität von Ebenen
Sind die zwei einander schneidenden Geraden in einer Ebene zu zwei anderen einander schneidenden Geraden der anderen Ebene entsprechend parallel, dann sind diese Ebenen parallel.
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Beweis:
Benennen wir mit α und β die gegebenen Ebenen. a1 und a2 sind die einander schneidenden Geraden in der Ebene α, und b1 und b2 sind die zu diesen Geraden entsprechend parallelen Geraden in der Ebene β.
 
Man nimmt an, dass die Ebenen α und β nicht parallel sind, d.h. sie schneiden einander in einer Geraden \(c\).
Die Gerade a1 verläuft parallel zu der Geraden b1, d.h. sie verläuft parallel auch zur Ebene β.
Die Gerade a2 verläuft parallel zu der Geraden b2, d.h. sie verläuft parallel auch zur Ebene β (Merkmal der Parallelität von Gerade und Ebene).
 
Die Gerade \(c\) gehört zu der Ebene α. Das bedeutet, dass mindestens eine der Geraden a1 oder a2 die Gerade \(c\) schneidet, d.h. damit einen gemeinsamen Punkt hat. Die Gerade \(c\) gehört aber auch zu der Ebene β, d.h. beim Schneiden der Geraden \(c\), schneidet die Gerade a1 oder a2 die Ebene β. Das ist aber nicht möglich, weil die Geraden a1 und a2 parallel zu der Ebene β verlaufen.
Daraus folgt, dass die Ebenen α und β einander nicht schneiden, d.h. sie sind parallel.
Eigenschaften von parallelen Ebenen
Werden zwei parallele Ebenen mit einer dritten Ebene geschnitten, sind die Schnittgeraden parallel.
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Beweis
Man nimmt an, dass α und β die parallelen Ebenen sind, und γ ihre Schnittebene ist.
Die Ebene α schneidet die Ebene γ in der Geraden \(a\).  
Die Ebene β schneidet die Ebene γ in der Geraden \(b\). 
 
Die Schnittlinien von \(a\) und \(b\) liegen in einer Ebene (γ), deshalb können sie einander entweder schneiden, oder parallel sein (sie können jedoch nicht windschief sein). Da sie zu den zwei parallelen Ebenen gehören, können sie keine gemeinsamen Punkte haben. Folglich sind sie parallel.
  
Die Verbindungslinien zwischen parallelen Geraden, die auf zwei parallelen Ebenen liegen, sind gleich lang. 
 Divas_plaknes_ar_paralelam_taisnem.png
Beweis
Man nimmt an, dass α und β die parallelen Ebenen sind, und \(a\) und \(b\) die parallelen Geraden sind, die die gegebenen Ebenen schneiden.
Durch die Geraden \(a\) und \(b\) kann man eine Ebene legen - diese Geraden sind parallel, d.h. sie definieren eine einzige Ebene.
Die gelegte Ebene schneidet die Ebene α in der Geraden \(AB\), und die Ebene β in der Geraden \(CD\). 
Gemäß dem vorigen Satz sind die Geraden \(AB\) und \(CD\) parallel. Das Viereck \(CBAD\) ist ein Parallelogramm (seine gegenüberliegenden Seiten sind parallel). Ist das ein Parallelogramm, sind seine gegenüberliegenden Seiten gleich lang, d.h. \(BC = AD\).