Theorie:

In der Praxis werden oft Funktionen wie zum Beispiel
y=2x,y=10x,y=12x,y=0,1x,...
benötigt, also Funktionen der Form y=ax, wobei a eine fixe vorgegebene Zahl ist und x die Variable (man kann beliebige reelle Zahlen einsetzen). Solche Funktionen nennt man exponentielle Funktionen (Exponentialfunktionen).
 
Eine Funktion, die durch die Formel y=ax (wobei a>0,a1) gegeben ist, nennt man exponentielle Funktion zur Basis  a.
Exponentialfunktionen sind in den Naturwissenschaften, wie z.B. bei der mathematischen Beschreibung von Wachstumsvorgängen, von großer Bedeutung.
 
Eigenschaften:
  
Fassen wir die Grundeigenschaften einer Exponentialfunktion zusammen:
  1. Der Definitionsbereich umfasst alle reellen Zahlen.
  2. Der Wertebereich umfasst alle positiven reellen Zahlen.
  3. Falls a>1, ist die Funktion streng monoton wachsend; für 0<a<1 ist sie streng monoton fallend. Also:
    ax1<ax2, wenn x1<x2,(a>1),
    ax1>ax2, wenn x1<x2,(0<a<1).
  4. Für beliebige reelle Werte x und y gilt:
    axay=ax+y,axay=axy,abx=axbx,abx=axbx,axy=axy.
 
 
Die Funktionsgraphen der verschiedenen Typen von Exponentialfunktionen sind auf den folgenden Zeichnungen dargestellt:
 
1) Fall a>1:
 
 ax1.png
 
 
2) Fall 0<a<1:
 
 ax2.png
 
 
Der Funktionsgraph der Exponentialfunktion y=ax geht durch den Punkt 0;1 und liegt zur Gänze oberhalb der x-Achse.
 
Für a>1 ist er streng monoton steigend, wie hier am Beispiel y=2x zu sehen ist:
Beispiel:
 
ax3.png
 
Für fallendes x<0 nähert sich der Graph schnell der x-Achse an, kreuzt diese jedoch nicht;
für wachsendes x>0 wächst der Graph schnell nach oben.
 
Für 0<a<1 ist die Exponentialfunktion streng monoton fallend, wie am Graph des Beispiels y=12x zu sehen ist:
Beispiel:
 ax4.png
Für wachsendes x>0  nähert sich der Graph schnell der x-Achse an, kreuzt diese jedoch nicht;
bei fallendem x<0 wächst der Graph schnell.