Theorie:
In der Praxis werden oft Funktionen wie zum Beispiel
benötigt, also Funktionen der Form , wobei eine fixe vorgegebene Zahl ist und die Variable (man kann beliebige reelle Zahlen einsetzen). Solche Funktionen nennt man exponentielle Funktionen (Exponentialfunktionen).
Eine Funktion, die durch die Formel (wobei ) gegeben ist, nennt man exponentielle Funktion zur Basis .
Eigenschaften:
Fassen wir die Grundeigenschaften einer Exponentialfunktion zusammen:
- Der Definitionsbereich umfasst alle reellen Zahlen.
- Der Wertebereich umfasst alle positiven reellen Zahlen.
- Falls , ist die Funktion streng monoton wachsend; für ist sie streng monoton fallend. Also:
, wenn ,
, wenn . - Für beliebige reelle Werte und gilt:
Die Funktionsgraphen der verschiedenen Typen von Exponentialfunktionen sind auf den folgenden Zeichnungen dargestellt:
1) Fall :
![ax1.png](http://resources.cdn.yaclass.at/482c16d2-9f5c-4617-a3d1-b330e5f33bbc/ax1.png)
2) Fall :
![ax2.png](http://resources.cdn.yaclass.at/63e7b13a-1df1-4d46-9460-1ac2586a5a5e/ax2.png)
Der Funktionsgraph der Exponentialfunktion geht durch den Punkt und liegt zur Gänze oberhalb der x-Achse.
Für ist er streng monoton steigend, wie hier am Beispiel zu sehen ist:
Beispiel:
![ax3.png](http://resources.cdn.yaclass.at/e50b4a01-23d8-4ea3-a3b1-d64b86b3c1e4/ax3.png)
Für fallendes nähert sich der Graph schnell der x-Achse an, kreuzt diese jedoch nicht;
für wachsendes wächst der Graph schnell nach oben.
Für ist die Exponentialfunktion streng monoton fallend, wie am Graph des Beispiels zu sehen ist:
Beispiel:
![ax4.png](http://resources.cdn.yaclass.at/8dd7b07f-f419-4a1a-9ff3-72bcbdda3acb/ax4.png)
Für wachsendes nähert sich der Graph schnell der x-Achse an, kreuzt diese jedoch nicht;
bei fallendem wächst der Graph schnell.