Theorie:
Wir haben uns als Beispiele schon die Folge der natürlichen Zahlen:
\[ \langle a_n \rangle = \langle 1,2,3,4,\ldots \rangle \]
und die Folge der ungeraden natürlichen Zahlen
\[ \langle u_n \rangle = \langle 1,3,5,7,\ldots \rangle \,. \]
angesehen. Sie sind beide Spezialfälle von arithmetischen Folgen.
Arithmetische Folgen beginnen mit dem ersten Glied \(a_1\) (dem Startwert) und werden fortgesetzt, indem man immer die selbe Zahl \(d\) (die Schrittweite) addiert. Ein Beispiel wäre die Folge
\[ \langle a_n \rangle = \langle 5,9,13,17,\ldots \rangle \]
Hier ist der Startwert \(a_1=5\), und jede weitere Zahl entsteht, indem wir die Schrittweite \(d=4\) zur vorhergehenden addieren. Die Folge wird also charakterisiert durch die implizite Darstellung
\[ a_1 = 5, \quad a_{n+1} = a_n + 4 \,. \]
Jede arithmetische Folge hat also eine implizite Darstellung, in der der Startwert \(a_1\) angegeben wird und die weiteren Folgeglieder durch
\[ a_{n+1} = a_n + d \]
festgelegt werden. Die Schrittweite \(d\) kann dabei auch eine negative Zahl sein; in diesem Fall wird immer die selbe Zahl subtrahiert, etwa in der Folge mit \(a_1=20\) und \(d=-5\). Diese Folge hat dann z.B. die Glieder:
\[ \langle 20,15,10,5,0,-5,-10, \ldots \rangle \,. \]
Für unsere oben erwähnten Beispiele gilt:
Natürliche Zahlen: \(a_1=1\) und \(d=1\).
Ungerade Zahlen: \(a_1=1\) und \(d=2\).
Eine explizite Darstellung für arithmetische Folgen erhalten wir, indem wir uns überlegen, dass \(a_1\) der Startwert ist. \(a_2\) bekommen wir, indem wir \(d\) einmal zu \(a_1\) addieren. Addieren wir \(d\) zweimal zum Startwert, erhalten wir \(a_3\) usw. Wir haben also
| \(a_1 = a_1\) | \( = a_1+0d\) |
| \(a_2 = a_1+d\) | \( = a_1+1d\) |
| \(a_3 = a_2+d\) | \( = a_1+2d\) |
| \(a_4 = a_3+d\) | \( = a_1+3d\) |
| \(\vdots\) | \(\vdots\) |
Das ergibt die allgemeine explizite Darstellung für arithmetische Folgen:
\[ a_n = a_1 + (n-1)d \]
Möchten wir etwa für das letzte Beispiel (Startwert \(a_1=20\) und Schrittweite \(d=-5\)) das 100. Folgenglied berechnen, können wir das viel leichter mit der expliziten Darstellung und dem Einsetzen von \(n=100\) tun:
\[ a_{100} = a_1 + 99 d = 20 + 99\cdot(-5) = 20 - 495 = -475 \,. \]