Theorie:
Auch für jede geometrische Folge lässt sich eine passende Funktion finden, wenn man alle reellen Zahlen zulassen will. Die explizite Darstellung einer geometrischen Folge ist:
\[ b_n = b_1 q^{n-1} \]
Diesen Ausdruck formen wir um, indem wir \(q^{n-1}\) als \(\frac{q^{n-1}\cdot q}{q}=\frac{q^n}{q}\) schreiben:
\[ b_n = b_1 q^{n-1} = b_1\frac{q^n}{q} = \frac{b_1}{q} q^n \]
Wieder ersetzen wir \(n\) durch den Buchstaben \(x\), um zum Ausdruck zu bringen, dass wir nun alle reellen Zahlen als Argument ("Input") zulassen. Dann haben wir auch keine Folge mehr, sondern eine reelle Funktion, und schreiben besser \(f(x)\) anstelle von \(b_n\):
\[ f(x) = \frac{b_1}{q} q^x \,. \]
Das hat die Form einer allgemeinen Exponentialfunktion. Eine solche hat die Form
\[ f(x) = f_0 \, b^x \,, \]
mit dem Startwert \(f_0\) und der Basis \(b\). Vergleichen wir die beiden Ausdrücke oben, dann gilt für unsere Funktion als Verallgemeinerung der geometrischen Folge
\[ f_0 = \frac{b_1}{q} \quad \text{ und } \quad b = q \,. \]
Wir sehen, dass \(q\) die Basis der Exponentialfunktion ist. Der Faktor, mit dem der Wert der Folge bei jedem Schritt wächst ist also unsere Basis.
Die Konstante \(f_0\) gibt uns an, welchen Wert die Funktion bei \(x=0\) hat. Bei diesem Wert schneidet der Graf der Funktion also die y-Achse. Statt unserem Startwert der Folge \(b_1\) erhalten wir hier den Wert \(f_0=b_1/q\). Das ist kaum überraschend, den \(b_1\) ist ja schon der Wert, den die Folge bei \(n=1\) hat.
Um einen sinnvollen Wert für einen angenommenen Vorgänger bei \(n=0\) zu erhalten, müssten wir \(b_1\) durch \(q\) dividieren. Denn durch den Schritt nach rechts auf \(n=1\) ergibt sich ja schon eine Multiplikation mit \(q\). Daher muss \(b_1 = f_0 q\) sein, oder eben \(f_0=b_1/q\).
Um einen sinnvollen Wert für einen angenommenen Vorgänger bei \(n=0\) zu erhalten, müssten wir \(b_1\) durch \(q\) dividieren. Denn durch den Schritt nach rechts auf \(n=1\) ergibt sich ja schon eine Multiplikation mit \(q\). Daher muss \(b_1 = f_0 q\) sein, oder eben \(f_0=b_1/q\).
Wie bei der arithmetischen Folge gibt es also zu jeder geometrischen Folge eine passende Funktion, die reelle Argumente zulässt. Diese ist eine Exponentialfunktion:
\[ b_n = b_1 q^{n-1} \quad \longleftrightarrow \quad f(x) = \frac{b_1}{q} q^x \] |