Theorie:
Wir haben die Zinseszinsformel kennengelernt, welche die Entwicklung eines ursprünglichen Kapitals oder Kredits \(K\) auf den Endbetrag \(E\) nach einer Verzinsung über \(n\) Jahre ausdrückt:
| \( E = Kq^n \) |
Dabei wird ein konstanter Zinssatz von \(p\) Prozent angenommen, aus dem sich der Aufzinsungsfaktor
| \( q = 1+\frac{p}{100} \) |
berechnet.
Wir haben bereits gesehen, wie man das ursprüngliche Kapital durch Auflösen der Zinseszinsformel nach \(K\) berechnet:
| \[ K = \frac{E}{q^n} \] |
Berechnung des Zinssatzes
\[ q^n = \frac{E}{K} \,, \]
und danach die \(n\)-te Wurzel aus dieser Gleichung ziehen:
| \[ q = \sqrt[n]{\frac{E}{K}} \] |
Aus dem Ergebnis für \(q\) berechnen wir den Zinssatz \(p\), indem wir die Formel oben für den Aufzinsungsfaktor nach \(p\) auflösen:
| \[ p = 100(q-1) \] |
Berechnung der Laufzeit
Möchten wir dagegen die Laufzeit \(n\) in Jahren wissen, nach der ein Kapital \(K\) auf einen Endbetrag \(E\) gewachsen ist, lösen wir die Zinseszinsformel nach \(n\) auf:
\[ q^n = \frac{E}{K} \,, \]
worauf wir z.B. den natürlichen Logarithmus anwenden
\[ n\ln q = \ln E - \ln K \,, \]
und anschließend durch \(\ln q\) dividieren. Das Ergebnis ist:
| \[ n = \frac{\ln E - \ln K}{\ln q} \] |