Theorie:
Wurzeln können nun dazu dienen, sinnvolle Ergebnisse für Potenzen anzugeben, bei denen der Exponent keine ganze Zahl ist. Nehmen wir z.B. an, wir wollen wissen, was \(x^\frac{1}{3}\) ist. Dabei sollen unsere bisherigen Potenzgesetze ihre Gültigkeit behalten, etwa das 3. Potenzgesetz:
\[ \left(x^m\right)^n = x^{mn} \,. \]
Versuchen wir, von \(\frac{1}{3}\) auf einen ganzzahligen Exponenten und damit etwas uns Vertrautes zu kommen, könnten wir den Bruch z.B. mit 3 multiplizieren. Unser 3. Potenzgesetz liefert uns dann
\[ \left(x^\frac{1}{3}\right)^3 = x^{\frac{1}{3}\cdot 3} = x^1 = x \,. \]
Schauen wir nur auf den Anfang und das Ende dieser Gleichung, dann steht dort, dass \(x^\frac{1}{3}\) diejenige Zahl ist, die -hoch 3 genommen- \(x\) ergibt. Genau diese Zahl haben wir aber als die 3. Wurzel aus \(x\) bezeichnet. Wir haben also gefunden:
\[x^\frac{1}{3} = \sqrt[3]{x} \,. \]
Weil man nicht nur mit 3, sondern mit jeder natürlichen Zahl ab 2 so argumentieren kann (probiere das an einem Beispiel aus!), gilt diese Regel ganz allgemein für \( n=2,3,4,\ldots \):
\[ x^\frac{1}{n} = \sqrt[n]{x}\] |
Insbesondere kann man die Quadratwurzel auch als Potenz schreiben:
\[ x^\frac{1}{2} = \sqrt{x}\] |
Wir können also schon angeben, was eine Potenz mit einem Exponenten \(\frac{1}{n}\) bedeutet. Wenn wir aber alle Brüche als Exponenten zulassen können, müssen wir uns noch überlegen, was diese zu bedeuten haben. Hier hilft uns wieder das 3. Potenzgesetz (von rechts nach links gelesen); denn ein beliebiger Bruch \(\frac{m}{n}\) lässt sich als Produkt von \(\frac{1}{n}\) und dem Zähler \(m\) schreiben. Je nachdem, welchen Faktor wir zuerst schreiben, erhalten wir entweder
\[ x^\frac{m}{n} = x^{\frac{1}{n}\cdot m} = \left(x^\frac{1}{n}\right)^m = \left(\sqrt[n]{x}\right)^m \]
oder
\[ x^\frac{m}{n} = x^{m\cdot \frac{1}{n}} = \left(x^m\right)^\frac{1}{n} = \sqrt[n]{x^m} \,.\]
Als Ergebnis erhalten wir einerseits, dass die beiden Ausdrücke ganz rechts das Gleiche darstellen
\[ \sqrt[n]{x^m} = \left(\sqrt[n]{x}\right)^m \,, \]
wobei man die erste Variante beim Schreiben bevorzugt, weil man dann ohne Klammern auskommt.
Vor allem aber haben wir die gewünschte Bedeutung einer Potenz mit einem allgemeinen Bruch \(\frac{m}{n}\) als Exponenten:
\[ x^\frac{m}{n} = \sqrt[n]{x^m}\] |
Diese Formel erlaubt es, Ausdrücke mit Wurzeln viel leichter umzuwandeln, weil wir unsere Potenzgesetze nun auch für Brüche oder Dezimalkommazahlen anwenden können.