Theorie:
Wir haben anhand der Quadratwurzel gesehen, dass die Frage aufkommen kann, welche Zahl zum Quadrat eine bestimmte Zahl ergibt — etwa um die Seite eines Quadrats mit einem vorgegebenen Flächeninhalt zu bestimmen. Man kann sich aber z.B. genauso fragen, welche Kantenlänge ein Würfel mit dem Volumen von genau \(2m^3\) hat:
Das Volumen eines Würfels der Kantenlänge \(a\) ist \(V = a^3 \). Haben wir also \(V = 2 m^3\) gegeben und nennen die unbekannte Kantenlänge \(x\), dann suchen wir eine Lösung für
\[ x^3 = 2 \,. \]
Die Lösung dieser Gleichung heißt die 3. Wurzel (bzw. Kubikwurzel) aus \(2\). Sie ist diejenige Zahl, die - hoch \(3\) genommen - die Zahl \(2\) ergibt, und wird geschrieben als
\[ x = \sqrt[3]{2}\,. \]
Man kann auch höhere Potenzen als \(3\) betrachten: Wir haben eine Zahl \(c\) gegeben und suchen zu einer bestimmten Potenz \(n = 2,3,4,\ldots\) diejenige Zahl \(x\), für die gilt
\[ x^n = c \,.\]
Dieses \(x\) heißt dann die n-te Wurzel aus \(c\), und wir schreiben das als
\[x = \sqrt[n]{c} \,. \]
- In dieser Sprechweise ist die uns schon bekannte Quadratwurzel die \(2\). Wurzel (\(\sqrt{c}=\sqrt[2]{c}\)), was man aber kaum so sagt — denn in der Regel ist mit "der Wurzel" ohnehin schon die Quadratwurzel gemeint; daher kann die hochgestellte \(2\) weggelassen werden.
- Ab der dritten und bei höheren Wurzeln muss man aber ausdrücklich angeben, die wievielte Wurzel gemeint ist; daher darf die hochgestellte Zahl \(n\) im Ausdruck \(\sqrt[n]{c}\) nur fehlen, wenn die Quadratwurzel gemeint ist.
- Nach der obigen Definition wäre die 1. Wurzel aus einer Zahl \(c\) diese Zahl selbst, denn \(c^1 = c\). Diese Bezeichnung wird aber nie so verwendet, da sie die Zahl nicht verändert und daher nutzlos ist.
Die \(3\). Wurzel aus \(2\) ist z.B. irrational; die ersten Stellen erhält man mit dem Taschenrechner zu:
\[ \sqrt[3]{2} = 1,25992105\ldots \]
Die Wurzeln der meisten natürlichen Zahlen sind irrational. Ausnahmen sind nur diejenigen, die eine Potenz einer anderen natürlichen Zahl sind — hier einige Beispiele:
\( 1^3 = 1 \) | \(\sqrt[3]{1}=1\) | \( 1^4 = 1 \) | \(\sqrt[4]{1}=1\) | |
\( 2^3 = 8 \) | \(\sqrt[3]{8}=2\) | \( 2^4 = 16 \) | \(\sqrt[4]{16}=2\) | |
\( 3^3 = 27 \) | \(\sqrt[3]{27}=3\) | \( 3^4 = 81\) | \(\sqrt[4]{81}=3\) | |
\( 4^3 = 64\) | \(\sqrt[3]{64}=4\) | \( 4^4 = 256\) | \(\sqrt[4]{256}=4\) | |
\( 5^3 = 125 \) | \(\sqrt[3]{125}=5\) | \(\vdots\) | \(\vdots\) | |
\( 6^3 = 216 \) | \(\sqrt[3]{216}=6\) | |||
\(\vdots\) | \(\vdots\) |