Potenzfunktionen mit natürlichen Exponenten — Theoretisches Material. Mathematik, 10. Schulstufe.

Die Funktion

y = x^{n}, mit n = 1,2,3,4,5, ...,

wird Potenzfunktion mit einem natürlichen Exponenten genannt.

Betrachten wir die Funktion

y = x^{4}, x \geq 0

Wir erstellen eine Wertetabelle:

$x$	$0$	$1$	$\frac{1}{2}$	$\frac{3}{2}$
$y$	$0$	$1$	$\frac{1}{16}$	$\frac{81}{16}$

Man trägt die Punkte

(0; 0)

(1; 1)

(\frac{1}{2}; \frac{1}{16})

(\frac{3}{2}; \frac{81}{16})

im Koordinatensystem ein.

Man verbindet die Punkte und erhält so den Graphen der Funktion für positive $x$-Werte.

Man spiegelt diesen Graphen entlang der Ordinate und fügt die beiden Teilgraphen zusammen. Man erhält den Graph der Funktion

y = x^{4}, x \in (- \infty; + \infty)

Die Eigenschaften der Funktion

y = x^{4}

D_{f} = (- \infty; + \infty)

;

2. es ist eine gerade Funktion;

3. sie fällt am Strahl

(- \infty; 0]

, wächst am Strahl

[0; + \infty)

;

4. sie ist nach unten beschränkt;

y_{\min} = 0; y_{\max}

gibt es nicht;

6. sie ist stetig;

W_{f} = [0; + \infty)

;

8. sie ist eine konvexe Funktion.

Die Funktion

y = x^{3}

Die Funktion

y = x^{3}

ist eine ungerade Funktion, also ist ihr Graph symmetrisch zum Ursprung.

Der Graph der Funktion

y = x^{3}

für

x \geq 0

sieht ähnlich wie der Graph der Funktion

y = x^{4}

für

x \geq 0

aus. Der Unterschied besteht darin, dass die Kurve nicht so steil ansteigt und ein wenig weiter von der $x$-Achse und vom Koordinatenursprung beginnt anzusteigen. Indem man die Linie, die symmetrisch zur erstellten Linie bezüglich des Ursprungs liegt, zeichnet, erhält man den Graphen der Funktion

y = x^{3}

Wichtig!

Die Kurve wird kubische Parabel genannt.

Die Funktion hat ein Symmetriezentrum, nämlich den Punkt $(0;0)$, der die zwei symmetrischen Teile der Kurve voneinander trennt; diese symmetrischen Teile nennt man die Zweige der kubischen Parabel.