Theorie:
Eigenschaft 1. Wenn \(a>b\) und \(b>c\), dann ist auch \(a>c\).
Man kann diese Eigenschaft auf der Zahlengeraden veranschaulichen.
Es ist ersichtlich, dass sowohl \(a>b\) als \(b>c\), da sowohl \(a\) rechts von \(b\) als auch \(b\) rechts von \(c\) auf der Zahlengerade aufgetragen ist. Daraus folgt logisch, dass \(a\) auch rechts von \(c\) liegt, also dass \(a>c\).
Eigenschaft 2. Wenn \(a>b\), dann ist \(a+c>b+c\) und \(a-c>b-c\).
Addiert oder subtrahiert man auf beiden Seiten der Ungleichung dieselbe Zahl, verändert sich das Ungleichheitszeichen nicht.
Eigenschaft 3. Wenn \(a>b\) und \(k>0\), dann ist \(ak>bk\) und \(\frac{a}{k}>\frac{b}{k}\).
Multipliziert man beide Seiten der Ungleichung mit derselben positiven Zahl oder dividiert sie dadurch, verändert sich das Ungleichheitszeichen nicht.
Beispiel:
Wir nehmen an, dass \(17,2<x<17,3\).
Stelle eine Ungleichung für \(2x\) auf:
Beim Multiplizieren der Doppelgleichung mit der positiven Zahl \(2\) erhalten wir eine Ungleichung mit gleichem Sinn (d.h. die Ungleichheitszeichen verändern sich nicht).
Eigenschaft 4. Wenn \(a>b\) und \(k<0\), dann ist \(ak<bk\) und \(\frac{a}{k}<\frac{b}{k}\).
Multipliziert man beide Seiten einer Ungleichung derselben negativen Zahl oder dividiert sie dadurch, kehrt sich das Ungleichheitszeichen um: ( \(< \) wird zu \(>\) und \(>\) zu \(< \)), bzw. \(\leq\) wird zu \(\geq\) und \(\geq\) wird zu \(\leq\).
Beispiel:
Wir nehmen an, dass \(17,2<x<17,3\).
Nun wollen wir die Ungleichung für \(-2x\) aufstellen.
Beim Multiplizieren der Doppelungleichung mit der negativen Zahl \(-2\) erhalten wir eine Ungleichung mit umgekehrtem Sinn (d.h. die Vorzeichen verändern sich).
Wichtig!
Die Division durch \(k\) kann man durch die Multiplikation mit dem Bruch ersetzen.