Lösen rationaler Ungleichungen durch Intervalldarstellung — Theoretisches Material. Mathematik, 10. Schulstufe.

Eine rationale Ungleichung mit einer Variablen \(x\) ist eine Ungleichung der Form \(f(x) < g(x)\), wobei \(f(x)\) und \(g(x)\) rationale Ausdrücke sind.

Für die Lösung rationaler Ungleichungen gelten dieselben Regeln, die man bei der Lösung von linearen und quadratischen Ungleichungen verwendet.

Durch die Äquivalenzumformung wird die rationale Ungleichung auf die Form \(h(x)<0\) gebracht, wobei \(h(x)\) ein algebraischer Bruch oder ein Polynom ist. Dafür wird die Intervalldarstellung verwendet.

Beispiel:

Die Ungleichung lösen:

\frac{x^{2} + 3}{2 x^{2} - 7 x - 4} > 0

Lösung.

1. Berechnet man die Lösungen des quadratischen Trinoms

2 x^{2} - 7 x - 4

mittels der großen Lösungsformel und faktorisiert es mit Hilfe der Formel

a x^{2} + bx + c = a (x - x_{1}) (x + x_{1})

, so erhält man

\begin{array}{l} 2 x^{2} - 7 x - 4 = 0 \\ D = b^{2} - 4 ac = {(- 7)}^{2} - 4 \cdot 2 \cdot (- 4) = 49 + 32 = 81 \\ x_{1} = \frac{- b - \sqrt{D}}{2 a} = \frac{- (- 7) - \sqrt{81}}{2 \cdot 2} = \frac{7 - 9}{4} = \frac{- 2}{4} = - \frac{1}{2} = - 0,5 \\ x_{2} = \frac{- b + \sqrt{D}}{2 a} = \frac{- (- 7) + \sqrt{81}}{2 \cdot 2} = \frac{7 + 9}{4} = \frac{16}{4} = 4 \\ 2 x^{2} - 7 x - 4 = 2 (x + 0,5) (x - 4) \\ 2 (x + 0,5) (x - 4) = 0 |: 2 \\ (x + 0,5) (x - 4) = 0 \\ x_{1} = - 0,5 x_{2} = 4 \end{array}

2. Man dividiert die beiden Seiten der Ungleichung durch den positiven Ausdruck

x^{2} + 3

für einen beliebigen Wert von \(x\), dabei bleibt das Vergleichszeichen \(>\) ohne Veränderung.

\begin{array}{l} \frac{x^{2} + 3}{(x + 0,5) (x - 4)} : (x^{2} + 3) > 0 : (x^{2} + 3) \\ \frac{x^{2} + 3}{(x + 0,5) (x - 4)} \cdot \frac{1}{x^{2} + 3} > 0 \\ \frac{(x^{2} + 3) \cdot 1}{(x + 0,5) (x - 4) \cdot (x^{2} + 3)} > 0 \\ \frac{1}{(x + 0,5) (x - 4)} > 0 \end{array}

3.Tragen wir auf die Zahlengeraden die Lösungen ein und finden das Vorzeichen des quadratischen Trinoms auf jedem Intervall.

Es genügt, einen beliebigen Wert aus jedem Intervall auszuwählen und statt \(x\) ins Trinom einzusetzen.

Im Intervall

(- \infty; - 0,5)

wählen wir \(x=-2\) aus, dann ist

2 {\cdot (- 2)}^{2} - 7 \cdot (- 2) - 4 = 2 \cdot 4 + 14 - 4 = 18 > 0

Im Intervall

(- 0,5; 4)

wählen wir \(x=0\) aus, dann ist

2 {\cdot 0}^{2} - 7 \cdot 0 - 4 = 0 - 0 - 4 = - 4 < 0

Im Intervall

(4; + \infty)

wählen wir \(x=5\) aus, dann ist

2 {\cdot 5}^{2} - 7 \cdot 5 - 4 = 2 \cdot 25 - 35 - 4 = 50 - 39 = 11 > 0

Das quadratische Trinom nimmt positive Werte auf den Intervallen

(- \infty; - 0,5)

und

(4; + \infty)

an.

Antwort:

(- \infty; - 0,5) und (4; + \infty)

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1. Lösen rationaler Ungleichungen durch Intervalldarstellung

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