Fakultät (Faktorielle) — Theoretisches Material. Mathematik, 10. Schulstufe.

Oftmals benötigt man in der Kombinatorik Produkte aufsteigender natürlicher Zahlen, beginnend mit der Zahl \(1\).

Zum Beispiel,

1 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 4 \cdot 5 \cdot 6 \cdot 7

usw. Um einen solchen Ausdruck kürzer aufzuschreiben, verwendet man das Zeichen "\(!\)".

Das Produkt der natürlichen Zahlen von 1 bis \(n\) wird die Fakultät (die Faktorielle) der Zahl n genannt. Man schreibt:

n!

(man sagt: "n Fakultät" oder "n Faktorielle").

n! = 1 \cdot 2 \cdot 3 \cdot ... \cdot (n - 2) \cdot (n - 1) \cdot n

Es ist definiert, dass \(0! = 1\)

1! = 1

2! = 2 \cdot 1 = 2

3! = 3 \cdot 2 \cdot 1 = 6

4! = 4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1 = 24

5! = 5 \cdot 4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1 = 120

6! = 6 \cdot 5 \cdot 4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1 = 720

Beispiel:

1. Berechne den Wert:

5! + 4! = 5 \cdot 4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1 + 4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1 = 120 + 24 = 144

\frac{7! - 5!}{4!} = \frac{7 \cdot 6 \cdot 5 \cdot 4! - 5 \cdot 4!}{4!} = \frac{5 \cdot 4! (42 - 1)}{4!} = 5 \cdot 41 = 205

Man hebt \(4!\) heraus, die Fakultäten in den Brüchen können gekürzt werden.

\frac{80!}{79!} + \frac{59!}{58!} = \frac{80 \cdot 79!}{79!} + \frac{59 \cdot 58!}{58!} = 80 + 59 = 139

Jede größere Fakultät kann durch eine kleinere Fakultät ausgedrückt werden:
\(n! = n(n-1)! = n(n-1)(n-2)! = n(n-1)(n-2)(n-3)!\) usw.

Beispiel:

2. Kürze den Bruch

\frac{(n + 1)!}{(n - 1)!} = \frac{(n + 1) n (n - 1)!}{(n - 1)!} = \frac{(n + 1) n (n - 1)!}{(n - 1)!} = (n + 1) n

3. Vereinfache den Ausdruck.

\frac{n + 2}{(n - 1)!} - \frac{2 n + 3}{n!} = \frac{(n + {2) n}^{}}{n (n - 1)!} - \frac{2 n + 3}{n (n - 1)!} = \frac{n^{2} + 2 n - 2 n - 3}{n (n - 1)!} = \frac{n^{2} - 3}{n!}

Wird der Wert von \(n\) vergrößert, wird auch der Wert von \(n!\) vergrößert.

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