Nullstellen quadratischer Polynome — Theoretisches Material. Mathematik, 11. Schulstufe.

Betrachten wir quadratische Polynome der Gestalt

x^{2} + p \cdot x + q

wobei $p,\,q$ reelle Zahlen sind.Wieviele Nullstellen kann dieses Polynom haben? Wenden wir die Lösungsformel für quadratische Polynome darauf an, so erhalten wir allgemein die Nullstellen

x_{1} = - \frac{p}{2} - \sqrt{\frac{p^{2}}{4} - q}

und

x_{2} = - \frac{p}{2} + \sqrt{\frac{p^{2}}{4} - q}

Das Vorzeichen der Diskriminante,

\frac{p^{2}}{4} - q

, entscheidet über die Anzahl der reellen Nullstellen.

Ist $\frac{p^{2}}{4} - q$ positiv, so existiert die Wurzel der Diskriminanten, und sie ist positiv. Also sind $x_1$ und $x_2$ zwei unterschiedliche reelle Zahlen.
Ist $\frac{p^{2}}{4} - q$ gleich Null, so ist die Wurzel davon gleich Null, und es gilt daher für die Nullstellen $x_1\,=\, x_2\,=\,-\frac p2$. Es gibt also nur eine Nullstelle.
Ist $\frac{p^{2}}{4} - q$ negativ, so kann die Wurzel (in den reellen Zahlen) nicht gezogen werden, und $x_1$ und $x_2$ sind keine reellen Zahlen mehr. Das Polynom hat also keine reellen Nullstellen mehr!