Differenzieren einer komplizierten Funktion — Theoretisches Material. Mathematik, 11. Schulstufe.

Man nimmt an, dass die Funktion $u=g(x)$ für die Mengen $X$ und $U$ definiert ist.
Man nimmt an, dass die Funktion $y=f(u)$ für die Menge $U$ definiert ist.
Jedem $x$ aus $X$ wird die Zahl $f(g(x))$ zugeordnet.
So ist für die Menge $X$ die Funktion $y=f(g(x))$ gegeben.
Sie heißt Zusammensetzung oder zusammengesetzte Funktion.

Man berechnet die Ableitung der Funktion $ f(u)$ mit der Formel $(f (u))' = f' (u) \cdot u'$ .

Beispiel:

1) Berechne die Ableitung der Funktion

{(x + 2)}^{10}

. Man definiert

u = x + 2

(x^{10})' = 10 x^{9}

, ist

({(x + 2)}^{10})' = (u^{10})' = 10 u^{9} \cdot u' = 10 {(x + 2)}^{9} \cdot 1 = 10 {(x + 2)}^{9}

2) Berechne die Ableitung von

f (x) = \sin (\cos x)

. Man bezeichnet

u = \cos x

Es ist

(\sin x)' = \cos x

, deshalb gilt:

\begin{array}{l} (\sin (\cos x))' = (\sin u)' = \cos u \cdot u' = \\ = \cos (\cos x) \cdot (\cos x)' = \\ = \cos (\cos x) \cdot (- \sin x) = \\ = - \cos (\cos x) \cdot \sin x \end{array}

3) Finde die Ableitung

\ln \cos x^{2}

. Man definiert

u = \cos x^{2}

(\ln x)' = \frac{1}{x}

folgt, dass

(\ln \cos x^{2})' = (\ln u)' = \frac{1}{u} \cdot u' = \frac{u'}{u} = \frac{(\cos x^{2})'}{\cos x^{2}}

Ebenso wird die Ableitung

\cos x^{2}

berechnet. Man nennt zuerst

u = x^{2}

. Damit ist

(\cos x^{2})' = (\cos u)' = - \sin u \cdot u' = - \sin x^{2} \cdot (x^{2})' = - 2 x \sin x^{2}

Wenn man den Ausdruck einsetzt, ergibt sich:

(\ln \cos x^{2})' = \frac{- 2 x \sin x^{2}}{\cos x^{2}} = - 2 x \tan x^{2}

Mit dieser Regel kann man das Gesetz des Differenzierens einer Umkehrfunktion herleiten.

Wenn die Ableitung $y=f(x)$ bekannt ist, kann man die Ableitung der Umkehrfunktion $x=g(y)$ mit der Formel

{x_{y}^{}}^{'} = \frac{1}{{y_{x}^{}}^{'}}

bestimmen, wenn

f^{'} (x) \neq 0

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