Theorie:
Um den größten und kleinsten Wert (Maximum und Minimum) der Funktion zu finden, verwendet man oft den Graphen der Funktion. Analytisch wird dazu die Ableitung verwendet. Es gilt:
1. Wenn die Funktion stetig im Intervall ist, erreicht sie ihren größten und kleinsten Wert.
2. Die Funktion kann ihr Maximum und Minimum sowohl an den Enden als auch innerhalb des Definitionsintervalls erreichen.
3. Werden das Maximum oder Minimum innerhalb des Intervalls erreicht, so wird es nur in kritischen Punkten erreicht.
Bestimmen des Maximums und Minimums der stetigen Funktion \(f(x)\) im Intervall \([a; b]\):
1. Die Ableitung finden.
2. Die kritischen Punkte der Funktion, die innerhalb des Intervalls \([a; b]\) liegen, berechnen.
3. Die Werte der Funktion in diesen Punkten und in den Punkten \(a\) und \(b\) bestimmen; unter diesen Werten den kleinsten ( ) und den größeren Wert () finden.
Wie bestimmt man Maximum bzw. Minimum einer stetigen Funktion in einem offenen Intervall? Es wird folgender Satz verwendet:
Lehrsatz. Man nimmt an, dass die Funktion stetig im Intervall \(X\) ist und innerhalb des Intervalls einen einzigen kritischen Punkt hat. Dann gilt:
а ) wenn ein Maximum ist, dann ist ;
b) wenn ein Minimum ist, dann ist .
Auf den Abbildungen sind die entsprechenden Situationen dargestellt.
