1. Tangentengleichung

Gegeben ist die Funktion \(y=f(x)\) und der Punkt \(M(a;f(a))\); es ist bekannt, dass $f^{\prime }(a)$ existiert. 
Man stellt die Gleichung einer Tangente an einen Graphen in einem angegebenen Punkt auf.
Diese Gleichung (Tangentengleichung) hat, wie die Gleichung einer beliebigen Geraden, die nicht parallel zur \(y\)-Achse ist, die Form \(y=kx+m\), die Werte von Koeffizienten \(k\) und \(m\) sollen bestimmt werden.

Wir wissen, dass $k=f^{\prime }(a)$. Um den Wert von \(m\) zu berechnen, berücksichtigen wir, dass die gesuchte Gerade durch den Punkt \(M(a;f(a))\) verläuft.
Wenn man die Koordinaten des Punktes \(M\) in die Gleichung der Geraden einsetzt, erhält man die Gleichung \(f(a)=ka+m\), d.h. \(m=f(a)-ka\).

Wir setzen die Werte der Koeffizienten \(k\) und \(m\) in die Gleichung der Geraden ein:

$\begin{array}{l}y=\mathit{kx}+m\\ y=\mathit{kx}+(f(a)-\mathit{ka})\\ y=f(a)+k(x-a)\\ \\ y=f(a)+f^{\prime }(a)(x-a).\end{array}$

Es ergibt sich die Tangentengleichung an den Funktionsgraphen \(y=f(x)\) im Punkt \(x=a\).

Für die Funktion \(y=f(x)\), die die Ableitung im Punkt \(x\) hat, gilt die näherungsweise Gleichheit  $\mathrm{\Delta }y\approx f^{\prime }(x)\cdot \mathrm{\Delta }x$, bzw. $f(x+\mathrm{\Delta }x)-f(x)\approx f^{\prime }(x)\cdot \mathrm{\Delta }x$.

Statt \(x\) schreiben wir \(a\), statt $x+\mathrm{\Delta }x$ schreibt man \(x\) und statt $\mathrm{\Delta }x$  \(x-a\). Dann hat die oben erwähnte näherungsweise Gleichheit die Form:

$\begin{array}{l}f(x)-f(a)\approx f^{\prime }(a)(x-a)\mathit{oder}\\ f(x)\approx f(a)+f^{\prime }(a)(x-a)\end{array}$