Unbestimmter Ausdruck ∞ - ∞ — Theoretisches Material. Mathematik, 11. Schulstufe.

Will man den Grenzwert

\lim_{x \to a} (g (x) - h (x))

bestimmen, wobei die Funktionen

g (x)

und

h (x)

gegen unendlich streben (d.h., es gibt einen unbestimmten Ausdruck

\infty - \infty

), kann man diese Differenz in so einen unbestimmten Ausdruck der Form

\frac{0}{0}

wie folgt umwandeln:

\lim_{x \to a} (g (x) - h (x)) = \lim_{x \to a} (\frac{1}{\frac{1}{g}} - \frac{1}{\frac{1}{h}}) = \lim_{x \to a} \frac{(\frac{1}{h}) - (\frac{1}{g})}{(\frac{1}{g}) \cdot (\frac{1}{h})}

Beispiel:

\begin{array}{l} \lim_{x \to 1} (\frac{1}{\ln x} - \frac{1}{x - 1}) = \lim_{x \to 1} \frac{(x - 1) - \ln x}{\ln x \cdot (x - 1)} = (\frac{0}{0}) = \lim_{x \to 1} \frac{(x - 1 - \ln x)'}{((x - 1) \ln x)'} = \\ = \lim_{x \to 1} \frac{1 - \frac{1}{x}}{\ln x + (x - 1) \cdot \frac{1}{x}} = \lim_{x \to 1} \frac{x - 1}{x \ln x + x - 1} = (\frac{0}{0}) = \lim_{x \to 1} \frac{(x - 1)'}{(x \ln x + x - 1)'} = \\ = \lim_{x \to 1} \frac{1}{\ln x + 1 + 1} = \frac{1}{2} \end{array}

\begin{array}{l} \lim_{x \to 0} (\frac{1}{\sin x} - \frac{1}{x}) = \lim_{x \to 0} \frac{x - \sin x}{x \sin x} = (\frac{0}{0}) = \lim_{x \to 0} \frac{(x - \sin x)'}{(x \sin x)'} = \\ = \lim_{x \to 0} \frac{1 - \cos x}{\sin x + x \cos x} = (\frac{0}{0}) = \lim_{x \to 0} \frac{(1 - \cos x)'}{(\sin x + x \cos x)'} = \\ = \lim_{x \to 0} \frac{\sin x}{\cos x + \cos x - x \sin x} = 0 \end{array}

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6. Unbestimmter Ausdruck ∞ - ∞