1. Logarithmische Ableitung

Wenn man die Funktion $y=x^x$ ableiten will, verwendet man die logarithmische Ableitung.

Betrachten wir dazu die allgemeine Funktion ${\left(f\left(x\right)\right)}^{g\left(x\right)}$ mit veränderlicher Basis und Exponenten. Um diese Funktion abzuleiten, logarithmiert man sie erst mit der Basis \(e\):

${\mathit{lny}=\mathit{ln}\left(f\left(x\right)\right)}^{g\left(x\right)}$

Man wendet die Eigenschaft von Logarithmen ${\mathit{ln}a}^b=b\cdot \mathit{ln}a$ an:

$\mathit{ln}y=g\left(x\right)\mathit{ln}\left(f\left(x\right)\right)$

Man leitet die beiden Seiten der Gleichung ab:

$\frac{1}{y}\cdot y^{\prime }={\left(g\left(x\right)\mathit{ln}\left(f\left(x\right)\right)\right)}^{\prime }$, dh.,
$y^{\prime }={y\cdot \left(g\left(x\right)\mathit{ln}\left(f\left(x\right)\right)\right)}^{\prime }$

Den letzten Ausdruck vereinfacht man zu:

$y^{\prime }=y\cdot \left(g^{\prime }\left(x\right)\cdot \mathit{ln}f\left(x\right)+g\left(x\right)\cdot \frac{1}{f\left(x\right)}{f}^{\prime }\left(x\right)\right)$

$y^{\prime }=y\cdot \left(g^{\prime }\left(x\right)\cdot \mathit{ln}f\left(x\right)+g\left(x\right)\cdot \frac{f^{\prime }\left(x\right)}{f\left(x\right)}\right)$

 oder

$y^{\prime }=\left(g^{\prime }\left(x\right)\cdot \mathit{ln}f\left(x\right)+g\left(x\right)\cdot \frac{f^{\prime }\left(x\right)}{f\left(x\right)}\right)\cdot {\left(f\left(x\right)\right)}^{g\left(x\right)}$

Leite $y=x^x$ ab.

Lösung:
$\begin{array}{l}\mathit{ln}y=\mathit{ln}{x}^x\\ \mathit{ln}y=x\cdot \mathit{ln}x\\ \frac{1}{y}\cdot y^{\prime }=1\cdot \mathit{ln}x+x\cdot \frac{1}{x}\\ y^{\prime }=\left(\mathit{ln}x+1\right)y\\ y^{\prime }=\left(\mathit{ln}x+1\right)x^x\end{array}$