Theorie:

Erinnern wir uns zurück an die Binomialverteilung.
Eine Binomialverteilung ist eine Wahrscheinlichkeitsverteilung für Zufallsexperimente, bei denen es nur zwei mögliche Ausgänge (z.B. "Ja" oder "Nein", "Kopf" oder "Zahl", etc.) gibt.
 
kopfzahl.jpg
 
Wir bezeichnen die Wahrscheinlichkeit für die erste Möglichkeit (z.B. "Kopf") mit \(p\), dann ist die Wahrscheinlichkeit für die andere Möglichkeit ("Zahl")
\(q = 1 - p\).
 
Wird ein solches Zufallsexperiment mit zwei Ausgängen (beispielsweise der Münzwurf) \(n\) mal wiederholt (wobei bei jedem Durchgang dieselben Wahrscheinlichkeiten gelten), dann ist die Wahrscheinlichkeit, dass genau \(k\) mal das erste Ergebnis ("Kopf") eintritt gegeben als
P(X=k)=nkpk1pnk
wobei
nk=n!(nk)!k!
der Binomialkoeffizient genannt wird.
 
Der Mittelwert (Erwartungswert) für die Anzahl der ersten Ergebnisse (also z.B. die Häufigkeit, dass die Münze "Kopf" zeigt) liegt bei
\(\mu = n \cdot p\)
mit einer Standardabweichung von
\(\sigma = \sqrt{n \cdot p \cdot (1-p)}\).
 
Bei den meisten Anwendungsbeispielen kamen wir bisher mit dieser Formel gut aus. Probleme entstehen aber, wenn die Zahl \(n\) der Wiederholungen sehr groß wird und wir uns nicht für eine Einzelwahrscheinlichkeit, sondern für ein Intervall interessieren. Wollen wir beispielsweise wissen, wie groß die Wahrscheinlichkeit für \(30 < k \leq 50\) bei gegebenem \(n\) ist, so müssen wir alle \(20\) einzelnen Werte für \(k\) separat berechnen. Das ist nicht nur sehr viel Arbeit, sondern wird für noch größere Zahlen zunehmend unmöglich.
 
Glücklicherweise gibt es für dieses Problem eine Lösung: Wir können uns mit der Normalverteilung behelfen. Mehr dazu im nächsten Abschnitt.