Theorie:
Flächeninhalt eines Parallelogramms
Die Höhe ist ein Lot, das aus einem beliebigen Punkt auf der Seite eines Parallelogramms auf die gegenüberliegende parallele Seite gefällt wird. Da ein Parallelogramm aus zwei Paaren von parallelen Seiten besteht, hat es zwei Höhen von unterschiedlichen Längen.
Die Höhe \(BE\), die zwischen den längeren Seiten liegt, ist kürzer als die Höhe \(BF\), die zwischen den kürzeren Seiten liegt.
Da die Seiten der Raute gleich lang sind, sind die Höhen der Raute auch gleich lang \(BE = BF\).
Flächeninhalt eines beliebigen Parallelogramms
Der Flächeninhalt eines Parallelogramms ist das Produkt aus der Länge der Höhe und der Seitenlänge der Seite, auf die die Höhe steht.
Die rechtwinkelige Dreiecke \(ABE\) und \(DCF\) sind kongruent, da sie gleich lange Hypotenusen und gleich lange Katheten besitzen.
Das Parallelogramm \(ABCD\) und das Rechteck \(EBCF\) haben dieselben Flächen, weil sie aus gleich großen Figuren bestehen:
Das bedeutet, dass der Flächeninhalt des Parallelogramms wie der Flächeninhalt des Rechtecks berechnet wird:
Bezeichnet man die Seite mit \(a\) und die Höhe mit \(h\), erhält man:
Flächeninhalt einer Raute
Die Formel für den Flächeninhalts einer Raute ist also:
Diese Formel ist für die Bestimmung jedes beliebigen Vieleckes geeignet, wenn seine Diagonalen senkrecht aufeinander stehen.
Da die Diagonalen eines Quadrates gleich lang sind, reicht es, die Länge einer Diagonalen zu kennen:
Flächeninhalt eines beliebigen Dreiecks
Da die Diagonale eines Parallelogramms es in zwei kongruente Dreiecke teilt, ist der Flächeninhalt eines Dreiecks gleich der Hälfte des Flächeninhalts eines Parallelogramms.
, wobei \(h\) die Höhe ist (in der Zeichnung \(BE\)), die auf die Seite \(a\) fällt (in der Zeichnung \(AD\)).
Um den Flächeninhalt des Dreiecks zu bestimmen, kann man jede beliebige Seite und die auf diese Seite fallende Höhe verwenden.
Flächeninhalt eines rechtwinkeligen Dreiecks
Da die Katheten eines rechtwinkeligen Dreiecks senkrecht aufeinander stehen, kann eine Kathete als Höhe und die zweite Kathete als Seite auf die die Höhe fällt, aufgefasst werden. Man erhält die Formel:
, wobei \(a\) und \(b\) die Katheten sind.
Für ein rechtwinkeliges Dreieck kann auch die Formel zur Berechnung des Flächeninhalts eines beliebigen Dreiecks angewandt werden.
Flächeninhalt eines Trapezes
Der Flächeninhalt des Trapezes wird als die Summe der Flächen von Dreiecken definiert, in die das Trapez von den beiden Diagonalen aufgeteilt wird.
Bezeichnet man die parallelen Geraden (die Grundseiten) des Trapezes mit \(a\) und \(b\), und die Höhe des Trapezes mit \(h\), erhält man:
Wichtig!
Schlussfolgerungen:
1. Sind die Höhen der Dreiecke gleich lang, entsprechen die Flächeninhalte dieser Dreiecke den Längen ihrer Basen.
2. Sind die Basen der Dreiecke gleich lang, entsprechen die Flächeninhalte dieser Dreiecke den Längen ihrer Höhen.
3. Sind die Höhen der Dreiecke und die Basen gleich lang, haben diese Dreiecke dieselbe Fläche.