Theorie:

Das Wort Symmetrie stammt aus dem Griechischen und bedeutet "Gleichmaß, Ebenmaß". Symmetrie bezeichnet die Eigenschaft eines Körpers (eines geometrischen Objekts), dass er durch Bewegungen auf sich selbst abgebildet werden kann, sich dadurch also nicht verändert. Wir können Symmetrie bei verschiedenen Objekten beobachten.

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Menschen haben schon vor langer Zeit Symmetrie in Zeichnungen, in den Ornamenten, in der Architektur, in der Kunst und im Bauwesen verwendet.

Symmetrie ist auch in der Natur weit verbreitet. Zum Beispiel ist Symmetrie zu finden in der Form der Blätter und der Blumen, in der Anordnung der Organe von Tieren, in Kristallen, in den Flügeln eines Schmetterlings, in Schneeflocken, in Seesternen etc..
 
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In der Ebene gibt es zwei Arten von Symmetrie: Punkt- und Achsensymmetrie.
 
Punktsymmetrie (Zentralsymmetrie):
Ein geometrisches Objekt ist punktsymmetrisch, wenn es eine Spiegelung an einem Punkt gibt, durch die es auf sich selbst abgebildet wird. Der Punkt an dem gespiegelt wird, heißt Symmetriezentrum.
Die Punkte M und M1 sind symmetrisch bezüglich des Punktes \(O\), wenn der Punkt \(O\) der Mittelpunkt der Strecke MM1 ist.
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Der Punkt \(O\) ist das Symmetriezentrum.
 
Konstruktion von punktsymmetrischen Figuren:
  
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Aufgabe: Man konstruiere ein Dreieck A1B1C1, das symmetrisch zu dem Dreieck \(ABC\) bezüglich des Zentrums (des Punktes) \(O\) ist.
 
1. Man verbindet die Punkte \(A\), \(B\)\(C\) mit dem Zentrum \(O\) und verlängert diese Strecken;

2. Man misst die Länge der Strecken \(AO\), \(BO\)\(CO\) und die trägt die gleichen Abstände an der anderen Seite des Punktes \(O\) ab, dh.: AO=OA1;BO=OB1;CO=OC1;

3. Man verbindet die markierten Punkte mit Strecken und erhält das Dreieck A1B1C1, das symmetrisch zu dem gegebenen Dreieck \(ABC\) ist.
 
Figuren, die symmetrisch bezüglich eines Punktes sind, sind deckungsgleich.

Eine Figur ist punktsymmetrisch, wenn jeder Punkt dieser Figur einen Punkt in derselben Figur besitzt, zu dem er symmetrisch ist. Eine solche Figur besitzt ein Symmetriezentrum.
 
Figuren, die punktsymmetrisch sind, sind zum Beispiel der Kreis oder das Parallelogramm. Das Symmetriezentrum des Kreises ist sein Mittelpunkt. Das Symmetriezentrum des Parallelogramms ist der Schnittpunkt seiner Diagonalen. Es gibt viele Figuren, die kein Symmetriezentrum besitzen, z.B. Trapeze und Dreiecke.
  
  
Achsensymmetrie (Axialsymmetrie):
  
Objekte, die entlang einer Symmetrieachse gespiegelt werden, nennt man achsensymmetrisch (axialsymmetrisch).
Die Punkte M und M1 sind symmetrisch bezüglich der pinken Geraden (der Symmetrieachse), d.h. diese Punkte liegen auf der Geraden, die senkrecht zur Symmetrieachse ist, und denselben Abstand von der Symmetrieachse haben.
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Konstruktion einer achsensymmetrischen Figur

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Aufgabe: Man konstruiere das Dreieck A1B1C1, das symmetrisch zu dem Dreieck \(ABC\) bezüglich der pinken Geraden liegt:
 
1. Zuerst zeichnet man von den Ecken des Dreiecks \(ABC\) ausgehend Geraden, die senkrecht zur Symmetrieachse sind und verlängert sie auf der anderen Seite der Achse weiter.
 
2. Man misst die Abstände von den Ecken des Dreiecks zur Achse und trägt die gleichen Abstände auf der anderen Seite der Achse an den in Schritt 1 gezeichneten Geraden ab.

3. Man verbindet die markierten Punkte und erhält das Dreieck A1B1C1, das symmetrisch zum gegebenen Dreieck \(ABC\) ist.
  
  
Die Figuren, die symmetrisch bezüglich der Gerades sind, sind deckungsgleich.
 
Alle ursprünglichen und die entsprechenden gespiegelten Strecken sind gleich lang.
 
Winkel bleiben bei der Spiegelung gleich.
 
Man nennt die Figur achsensymmetrisch, wenn jeder Punkt der Figur einen entsprechenden symmetrischen Punkt bezüglich einer fixen Gerade in derselben Figur hat. In diesem Fall ist die Gerade die Symmetrieachse der Figur.
 
Es kann vorkommen, dass eine Figur mehrere Symmetrieachsen besitzt:
  • Für nicht gestreckten Winkel gibt es nur eine Symmetrieachse. Das ist die Winkelsymmetrale dieses Winkels.
  • In einem gleichschenkligen Dreieck gibt es nur eine Symmetrieachse.
  • In einem gleichseitigen Dreieck gibt es drei Symmetrieachsen.
  • In einem Rechteck und in einer Raute gibt es zwei Symmetrieachsen.
  • In einem Quadrat gibt es vier Symmetrieachsen.
  • Im Kreis gibt es unendlich viele Symmetrieachsen. Diese Achsen sind die Geraden, die durch dem Mittelpunkt des Kreises laufen.
  • Figuren ohne Symmetrieachse sind zum Beispiel ein Parallelogramm oder ein unregelmäßiges Dreieck, dessen Seiten unterschiedlich lang sind.