Theorie:
Wie wir gesehen haben, ändert sich die Geschwindigkeit zu jedem Zeitpunkt. Dafür gibt es auch ein Maß, das Beschleunigung genannt wird.
Nehmen wir an, dass unser Autofahrer im letzten Beispiel gerade mit \(v = 108 \,\rm km/h = 30 \, m/s\) unterwegs ist und auf das Gaspedal steigt. Nach 2 Sekunden hat er die Geschwindigkeit \(v' = 126 \,\rm km/h = 35 \, m/s\). Die Änderung seiner Geschwindigkeit pro Zeit wird als Beschleunigung bezeichnet; wir berechnen dazu zunächst einmal die Geschwindigkeitsänderung zu \(\Delta v = v' - v = 35 \,\rm m/s - 30 \, m/s = 5 \, m/s\). Da sich diese Veränderung innerhalb des Zeitintervalls \(\Delta t = 2\,\rm s\) abspielt, ist die Beschleunigung
\[ a = \frac{\Delta v}{\Delta t} = \rm \frac{5 \, \frac{m}{s}}{2\, s} = 2,5\, \frac{\frac{m}{s}}{s} = 2,5\, \frac{m}{s^2} \,. \]
Die Beschleunigung hat also die Einheit \(\rm \frac{m}{s^2}\); das liegt daran, dass die Veränderung der Geschwindigkeit (gemessen in m/s) pro Zeit (gemessen in s) einen Wert in \(\rm \frac{m}{s}\) pro \(\rm s\) ergibt. Wenn wir die Geschwindigkeitseinheit \(\rm \frac{m}{s}\) durch die Zeiteinheit \(\rm s\) dividieren, erhalten wir noch eine Sekunde im Nenner, daher kommt die Einheit \(\rm \frac{m}{s^2}\). Eine Beschleunigung von \(1\,\rm \frac{m}{s^2}\) bedeutet, dass sich die Geschwindigkeit pro Sekunde um \(1\,\rm \frac{m}{s}\) erhöht.
Bei der Berechnung der Beschleunigung wird die Geschwindigkeit nur noch in \(\rm \frac{m}{s}\) angegeben — liegt sie in \(\rm \frac{km}{h}\) vor, müssen wir diese erst in \(\rm \frac{m}{s}\) umrechnen. Andere Einheiten als \(\rm \frac{m}{s^2}\) sind in der Beschleunigung unüblich (mit Ausnahme von \(1g = 9,81 \, \frac{m}{s^2}\,\), der Fallbeschleunigung auf der Erde).
Was ist, wenn unser Autofahrer bei einer Geschwindigkeit von \(v = 108 \,\rm km/h = 30 \, m/s\) für 2 Sekunden auf die Bremse steigt? Danach hat er vielleicht nur noch eine Geschwindigkeit von \(v' = 54 \,\rm km/h = 15 \, m/s\). Dann ist seine Geschwindigkeitsänderung gleich \(\Delta v = v' - v = 15 \,\rm m/s - 30 \, m/s = -15 \, m/s\), und die Beschleunigung wird zu
\[ a = \frac{\Delta v}{\Delta t} = \rm \frac{-15 \, \frac{m}{s}}{2\, s} = -7,5\, \frac{m}{s^2} \,. \]
Hier ist die Beschleunigung also negativ, weil sich die Geschwindigkeit verringert (das Auto wird ja gebremst). Eine solche Beschleunigung gegen die Fahrtrichtung wird in der Physik auch Verzögerung genannt.
Genau wie bei unserem Problem der momentanen Geschwindigkeit ist die Beschleunigung nicht immer gleich groß. In dem ersten Beispiel, wo der Autofahrer aufs Gaspedal tritt, war die Beschleunigung am Anfang vielleicht etwas größer und hat sich im Lauf der 2 Sekunden dann verringert. Was wir mit unserer Formel berechnet haben, war also die durchschnittliche Beschleunigung über die 2 Sekunden. Möchten wir wirklich die momentane Beschleunigung berechnen, müssen wir das genau so machen, wie bei der momentanen Geschwindigkeit: Wir lassen das Zeitintervall \(\Delta t\) immer kleiner werden und messen die innerhalb \(\Delta t\) stattfindende Geschwindigkeitsänderung \(\Delta v\). Wenn wir beides gegen null gehen lassen, bekommen wir die Ableitung der Geschwindigkeitsfunktion \(v(t)\) für die Beschleunigung:
\[ a(t) = \lim_{\Delta t \to 0} \frac{\Delta v(t)}{\Delta t} = v'(t) \,.\]
Auch die Beschleunigung ist also eine Funktion der Zeit; d.h. sie kann sich mit der Zeit ändern (etwa indem man mehr oder weniger stark Gas gibt oder auf die Bremse steigt).
Beispiel:
Angenommen, wir haben die Geschwindigkeitsfunktion vom letzten Beispiel: \(v(t) = 10t-6\)
Um die Beschleunigungsfunktion \(a(t)\) zu erhalten, müssen wir also nochmals ableiten:
\(a(t) = v'(t) = 10 \)
In diesem Fall ist die Beschleunigung konstant, weil sie nicht von der Zeit abhängt - denn beim Ableiten ist mit 10 eine reine Zahl übriggeblieben.
Um die Beschleunigungsfunktion \(a(t)\) zu erhalten, müssen wir also nochmals ableiten:
\(a(t) = v'(t) = 10 \)
In diesem Fall ist die Beschleunigung konstant, weil sie nicht von der Zeit abhängt - denn beim Ableiten ist mit 10 eine reine Zahl übriggeblieben.
Beispiel:
Haben wir dagegen die Geschwindigkeitsfunktion \(v(t) = t^2 - 3t + 7\), dann wird die Beschleunigung zu
\(a(t) = v'(t) = 2t-3 \, \).
Hier ist die Beschleunigung nicht konstant, weil ihre Funktion noch von \(t\) abhängt.
\(a(t) = v'(t) = 2t-3 \, \).
Hier ist die Beschleunigung nicht konstant, weil ihre Funktion noch von \(t\) abhängt.