Theorie:
Die Summe der Innenwinkel im Dreieck beträgt \(180°\).
Wir analysieren das Dreieck \(KLM\) und beweisen, dass \(K +\)\(L +\)\(M =\).
Man zeichnet durch die Ecke \(L\) eine Gerade \(a\), die parallel zur Seite \(KM\) ist.
Die Winkel \(1\) sind Wechselwinkel, die sich an den Schnittpunkten der parallelen Geraden \(a\) bzw. \(KM\) mit der Geraden \(KL\) bilden. Die Winkel \(2\) sind die Wechselwinkel, die sich an den Schnittpunkten von denselben parallelen Geraden mit der Geraden \(ML\) bilden.
Die Summe der Winkel \(1\), \(2\) und \(3\) entspricht der Größe des gestreckten Winkels mit Scheitel \(L\), d.h.,
\(1 +\)\(2 +\)\(3 =\) oder \(K +\)\(L +\)\(M =\).
\(1 +\)\(2 +\)\(3 =\) oder \(K +\)\(L +\)\(M =\).
Folgerungen
Folgerung 1. Die Summe der spitzen Winkel eines rechtwinkeligen Dreiecks beträgt .
Folgerung 2. Jeder spitze Winkel des gleichschenkligen Dreiecks beträgt .
Folgerung 3. Jeder Winkel eines gleichseitigen Dreiecks beträgt .
Folgerung 4. Es gibt Dreiecke, in denen alle Winkel spitz sind. Weiters gibt es solche, in denen zwei Winkel spitz und der dritte ein rechter oder stumpfer Winkel ist.
Folgerung 5. Ein Außenwinkel eines Dreiecks ist die Summe der zwei Innenwinkel dieses Dreiecks, die keine Nebenwinkel des gegebenen Außenwinkels sind.
Beweis.
Da \(KML +\)\(BML =) und \(K +\)\(L +\)\(KML =\) , folgt, dass \(BML =\)\(K +\)\(L\).
Spitzwinkelige, rechtwinkelige und stumpfwinkelige Dreiecke
Man kann drei Arten von Dreiecken konstruieren:
Alle Winkel des Dreiecks \(KLM\) sind spitz.
Ein Winkel des Dreiecks \(KNM\) ist ein rechter Winkel, \(\angle K = 90\).
Die Seite eines rechtwinkeliges Dreiecks, die gegenüber dem rechten Winkel liegt, nennt man Hypotenuse, und zwei andere Seiten nennt man Katheten.
In der Zeichnung oben ist \(MN\) die Hypotenuse, \(MK\) und \(KN\) sind die Katheten.
Ein Winkel des Dreiecks \(KLM\) ist stumpf.