2. Anwendung des dritten Kongruenzsatzes

In einem gleichschenkligen Dreieck mit einer 56 cm langen Basis ist die Winkelhalbierende des Winkels $\measuredangle \mathit{ABC}$ eingezeichnet. Wende den dritten Kongruenzsatz an und beweise, dass die Strecke \(BD\) auch die Seitenhalbierende der Basis ist. Bestimme die Länge der Strecke \(AD\).

 

 

Wir betrachten die Dreiecke $\mathrm{\Delta }$$\mathit{ABD}$ und $\mathrm{\Delta }$.

 

1. Da die Basiswinkel des gegebenen gleichschenkligen Dreiecks gleich groß sind, ist $\measuredangle$$A$\(=\)$\measuredangle$;

 

2. Da durch den Winkel die Winkelhalbierende läuft, sind $\measuredangle$\(=\)$\measuredangle$$\mathit{CBD}$;

 

3. Die Seiten \(AB = CB\) der Dreiecke $\mathrm{\Delta }$$\mathit{ABD}$ und $\mathrm{\Delta }$$\mathit{CBD}$ sind gleich lang, weil  \(ABC\) ein gleichseitigesrechtwinkeligesallgemeinesgleichschenkeliges Dreieck ist.

 

Nach dem dritten Kongruenzsatz sind die Dreiecke $\mathrm{\Delta }$$\mathit{ABD}$ und $\mathrm{\Delta }$$\mathit{CBD}$ kongruent.

Das heißt, alle einander entsprechenden Elemente sind gleich groß, also auch die Seiten \(AD = CD\). Das bedeutet, dass die Strecke \(BD\) die Seitenhalbierende des gegebenen Dreiecks ist. Die Seitenhalbierende teilt die Seite \(AC\) in zwei gleich lange Teile.

 

\(AD =\) cm