Theorie:
Abstand von einem Punkt zu einer Geraden
1. Wird aus dem Punkt \(C\) zu der Geraden \(a\) das Lot \(CA\) gezogen, sind alle andere Strecken, die von diesem Punkt zu der Geraden gezogen werden, schief.
2. Das Lot, das von einem Punkt zu der Geraden gezogen ist ist kürzer als jede schiefe Strecke, die aus demselben Punkt zu der Geraden gezogen wird.
3. Die Länge des Lots, das von dem Punkt auf die Gerade fällt, ist der Abstand von diesem Punkt zur Geraden.
Abstand zwischen parallelen Geraden
Alle Punkte auf einer Geraden haben denselben Abstand zu einer parallelen Geraden.
Also wird der Abstand zwischen zwei parallelen Geraden durch die Länge eines Lotes definiert, das von einem beliebigen Punkt einer Geraden auf die andere Gerade fällt.
Konstruktion eines Dreiecks
1. einen Kreis mit gegebenen Mittelpunkt und gegebenen Radius konstruieren,
2. auf dem gegebenen Strahl aus seinem Anfangspunkt eine Strecke einer bestimmten Länge ziehen,
3. einen Winkel einer gegebenen Größe konstruieren,
4. eine Winkelhalbierende konstruieren.
5. eine senkrechte Gerade konstruieren.
6. den Mittelpunkt einer Strecke konstruieren.
5. eine senkrechte Gerade konstruieren.
6. den Mittelpunkt einer Strecke konstruieren.
Beispiel:
Konstruktion eines Dreiecks aus zwei Seiten und dem eingeschlossenen Winkel
Gegeben sind zwei Strecken \(a\) und \(b\). Sie sind gleich lang wie die Seiten des gesuchten Dreiecks, und der Winkel \(1\) entspricht dem eingeschlossenen Winkel.
1. Man zeichnet eine Gerade.
2. Auf der Geraden trägt man vom gewählten Punkt \(A\) aus eine Strecke auf, die gleich lang wie die gegebene Strecke \(a\) ist.
3. Man bildet einen Winkel, der gleich groß wie \(1\) ist mit Scheitel \(A\). Ein Schenkel des Winkels liegt auf der Geraden.
4. Der zweite Schenkel des Winkels hat dieselbe Länge wie die Strecke \(b\).
5. Man verbindet die Endpunkte der Schenkel mit einer Strecke.
Beispiel:
Konstruktion eines Dreiecks aus einer Seite und aus zwei dieser Seite anliegenden Winkel
Gegeben ist die Strecke \(a\) und zwei Winkel \(1\) und \(2\). Man soll ein Dreieck aus einer Strecke der gegebenen Länge und den gegebenen Winkeln konstruieren.
1. Man zeichnet eine Gerade.
2. Auf dieser Geraden zieht man von einem gewählten Punkt \(A\) aus eine Strecke, die gleich lang wie \(a\) ist und man markiert den Endpunkt \(B\) der Strecke.
3. Man konstruiert einen Winkel, der gleich groß wie der gegebene Winkel \(1\) ist, mit Scheitel \(A\). Ein Schenkel liegt auf der Geraden.
4. Man konstruiert den Winkel, der gleich groß wie der Winkel \(2\) ist, und dessen Scheitel \(B\) ist. Ein Schenkel des Winkels liegt auf der Geraden.
5. Der Schnittpunkt der zwei anderen Scheitel ist der dritte Eckpunkt des gesuchten Dreiecks.
Beispiel:
Konstruktion eines Dreiecks aus drei Seiten
Gegeben sind die Längen dreier Strecken \(a\),\(b\) und \(c\). Man soll ein Dreieck konstruieren, dessen Seitenlängen den gegebenen Längen entsprechen.
Zuerst überprüft man, ob die Streckenlängen die Dreiecksungleichung erfüllen, also ob diese Strecken überhaupt Längen der Seiten eines Dreiecks sein können.
Falls ja, wird das Dreieck so konstruiert:
1. Man zeichnet eine Gerade.
2. Auf der Geraden zieht man vom gewählten Punkt \(A\) eine Strecke der Länge \(a\), und man markiert den Endpunkt \(B\) dieser Strecke.
3. Man zeichnet einen Kreis mit Mittelpunkt \(A\) und einem Radius der Länge \(b\).
4. Ebenso zeichnet man einen Kreis mit Mittelpunkt \(B\) und einem Radius der Länge \(c\).
5. Der Schnittpunkt der Kreislinien ist der dritte Eckpunkt des gesuchten Dreiecks.