Theorie:
Wahre und falsche Aussagen
In der Mathematik hat man es mit Aussagen zu tun.
Beispiele für mathematische Aussagen sind etwa:
"Jede natürliche Zahl, die durch \(6\) teilbar ist, ist auch durch \(3\) teilbar". Diese Aussage ist wahr.
Umgekehrt ist die Aussage "Jede natürliche Zahl, die durch \(3\) teilbar ist, ist auch durch \(6\) teilbar" eine falsche Aussage.
Wir sehen also:
Eine mathematische Aussage ist entweder wahr (\(w\)) oder falsch (\(f\)).
\(w\) und \(f\) werden Wahrheitswerte genannt.
Beziehungen zwischen Aussagen
Es kommt oft vor, dass eine Aussage aus einer anderen folgt oder dass zwei Aussagen sich gegenseitig implizieren.
\(A\Rightarrow B\) ("Wenn \(A\), dann \(B\)", "Aus \(A\) folgt \(B\)") bedeutet: Wenn \(A\) wahr ist, ist auch \(B\) wahr. Wenn \(A\) falsch ist, kann \(B\) wahr oder falsch sein.
\(A\Leftrightarrow B\) ("\(A\) genau dann, wenn \(B\)", "\(A\) äquivalent \(B\)") bedeutet: \(A\) ist genau dann wahr (falsch), wenn \(B\) wahr (falsch) ist.
Beispiel:
\(x=2\Rightarrow x^2=4\)
\(x^2=4 \Leftrightarrow x=2\vee x=-2\)
\(ABCD\) ist ein Quadrat \(\Leftrightarrow\) \(ABCD\) ist eine Raute und hat gleich lange Diagonalen.
Verneinung von Aussagen
Durch Verneinung kann man zu jeder Aussage eine neue Aussage bilden. Für die Aussage \(A\) ist ihre Verneinung ("nicht A").
Beispiel:
\(A\): \(10\) ist durch \(2\) teilbar.
: \(10\) ist nicht durch \(2\) teilbar.
Ist \(A\) wahr, dann ist falsch und umgekehrt, ist \(A\) falsch, so ist wahr.