Binomische Formeln — Theoretisches Material. Mathematik, 7. Schulstufe.

In manchen Fällen kann man die Multiplikation von Polynomen vereinfachen, indem man die sogenannten binomische Formeln benutzt.

Binomische Formeln:

1. Die erste binomische Formel (das Quadrat der Summe) ist

{(a + b)}^{2} = a^{2} + 2 ab + b^{2}

Diese Formel gilt, da

\begin{array}{l} {(a + b)}^{2} = (a + b) \cdot (a + b) = a \cdot a + a \cdot b + b \cdot a + b \cdot b = \\ = a^{2} + ab + ba + b^{2} = a^{2} + 2 ab + b^{2} \end{array}

2. Die zweite binomische Formel (das Quadrat der Differenz) ist

{(a - b)}^{2} = a^{2} - 2 ab + b^{2}

Das folgt aus:

\begin{array}{l} {(a - b)}^{2} = (a - b) \cdot (a - b) = a \cdot a + a \cdot (- b) - b \cdot a - b \cdot (- b) = \\ = a^{2} - ab - ba + b^{2} = a^{2} - 2 ab + b^{2} \end{array}

3. Die dritte binomische Formel (Differenz von Quadraten) ist

(a - b) (a + b) = a^{2} - b^{2}

Das gilt, da

\begin{array}{l} (a - b) (a + b) = a \cdot a + a \cdot b - b \cdot a - b \cdot b = \\ {= a}^{2} + ab - ab - b^{2} = a^{2} - b^{2} \end{array}

Anwendung der Formeln

Beispiel:

{(a + b)}^{2} = a^{2} + 2 ab + b^{2}

Mit Verwendung der Formel sehen wir direkt, dass

{(x + 3)}^{2} = x^{2} + 2 \cdot x \cdot 3 + 3^{2} = x^{2} + 6 x + 9

Ohne die Formel muss die Multiplikation durchgeführt werden:

\begin{array}{l} {(x + 3)}^{2} = (x + 3) \cdot (x + 3) = x \cdot x + x \cdot 3 + 3 \cdot x + 3 \cdot 3 = \\ = x^{2} + 3 x + 3 x + 9 = x^{2} + 6 x + 9 \end{array}

{(a - b)}^{2} = a^{2} - 2 ab + b^{2}

Mithilfe der Formel erhalten wir direkt:

{(x - 3)}^{2} = x^{2} - 2 \cdot x \cdot 3 + 3^{2} = x^{2} - 6 x + 9

Ohne Formel multiplizieren wir die Polynome miteinander und erhalten:

\begin{array}{l} {(x - 3)}^{2} = (x - 3) \cdot (x - 3) = x \cdot x + x \cdot (- 3) - 3 \cdot x - 3 \cdot (- 3) = \\ x^{2} - 3 x - 3 x + 9 = x^{2} - 6 x + 9 \end{array}

(a - b) (a + b) = a^{2} - b^{2}

Verwenden wir die Formel, ergibt sich:

(x - 3) (x + 3) = x^{2} - 3^{2} = x^{2} - 9

Ohne Formel folgt nach Multiplikation der Polynome:

(x - 3) (x + 3) = x \cdot x + x \cdot 3 - 3 \cdot x - 3 \cdot 3 = x^{2} + 3 x - 3 x - 9 = x^{2} - 9

Es ist leichter und schneller das Ergebnis mit der entsprechenden Formel zu berechnen.

Wichtig!

Die erste und zweite binomische Formeln unterscheiden sich voneinander nur durch ihre Vorzeichen.

{(a \pm b)}^{2} = a^{2} \pm 2 ab + b^{2}

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