4. Quadratische Ergänzung

Aufgabe. Löse die Gleichung ${x }^2+ 14x + 45 = 0$.
Lösung:
Man faktorisiert das Polynom mit Hilfe der quadratischen Ergänzung.

Um eine binomische Formel anzuwenden, benötigt man den Ausdruck $x^2+ 14x + 49 = 0$.

Deshalb muss man, um die quadratische Ergänzung durchzuführen,  die Zahl \(4\) addieren und wieder subtrahieren.

 $\begin{array}{l}{x }^2+ 14x + 45+4-4 =0 \\ \left({x }^2+ 14x + 45+4\right)-4=0\\ \left({x }^2+ 14x + 49\right)-4=0\\ {\left(x+7\right)}^2-4=0\end{array}$

Man wendet die zweite binomische Formel an: $a^2-b^2=\left(a-b\right)\cdot \left(a+b\right)$

 $\begin{array}{l}{\left(x+7\right)}^2-2^2=0\\ ( x + 7 – 2 )\; ( x + 7 + 2 )\; = 0\\ ( x + 5 )\; ( x + 9 )\; = 0\\ x + 5 = 0 \; \; \; \; \; x + 9 = 0\\ x_1 =\; – 5 \; \; \; \; \; \; \; \; \; x_2 =\; – 9\\ \end{array}$
Antwort: \(– 9; – 5.\)

Aufgabe. Löse die Gleichung $x^2 - 6x - 7 = 0$

Lösung:
Auf der linken Seite wendet man die Methode der quadratischen Ergänzung an.

Um die zweite binomische Formel anzuwenden, benötigt man den Ausdruck $x^2 - 6x +9 = 0$.
Deshalb schreibt man $x^2 - 6x$ als $x^2-6x =x^2-2\cdot x\cdot 3$
In diesem Ausdruck ist der erste Summand das Quadrat der Zahl \(x\), und der zweite Summand ist das Doppelte des Produkts von \(x\) mit \(3\).

Um die quadratische Ergänzung anzuwenden, addiert und subtrahiert man $3^2$ auf der linken Seite der Gleichung.

$\begin{array}{l}{x}^2 - 6x - 7 = x^2 - 2\cdot x \cdot 3 + 3^2 - 3^2 - 7 =\; (x^2 - 2\cdot x \cdot 3 + 3^2 ) - 3^2 - 7 =\\ ={(x - 3)}^2 - 9 - 7 = {(x - 3)}^2 - 16.\end{array}$
Man schreibt den berechneten Teil in die Gleichung und wendet die Formel $a^2-b^2=\left(a-b\right)\cdot \left(a+b\right)$ an.