Monom und seine Normalform — Theoretisches Material. Mathematik, 7. Schulstufe.

Das Produkt von Zahlen, Variablen und ihren Potenzen (mit positiven und ganzzahligen Exponenten) nennt man Monom.

Einfache Monome sind beispielsweise


$x \cdot x = x^{2}$	$a \cdot a \cdot b = a^{2} b$	$3 x \cdot 5 x = (3 \cdot 5) \cdot (x \cdot x) = 15 x^{2}$

Ausdrücke wie

6 \cdot a \cdot y

0,25 x^{3}

abbc

8,43

16 c \cdot (- \frac{1}{2}) d

\frac{3}{8} x^{2} y

sind auch Monome, keine Monome sind dagegen z.B.

\begin{array}{l} a + b \\ 2 ac + d^{2} \\ 2 m - 3 n \\ \frac{x}{y} - 1 \\ \frac{f^{2}}{4 g} \end{array}

da hier auch Summen, Differenzen und Quotienten auftreten.

Man schreibt für gewöhnlich kein Multiplikationszeichen zwischen den Zahlen und Variablen, also z.B.

6 \cdot a \cdot y

$= 6ay$.

Monome sind auch:

- einzelne Variablen, z.B. $x$, denn

x = 1 \cdot x

;

- Zahlen, z.B. $3$, denn

3 = 3 \cdot x^{0}

Man kann Monome vereinfachen. So können wir beispielsweise die Regel zum Multiplizieren von Potenzen benutzen:

a^{m} \cdot a^{n} = a^{m + n}

, dann ist

6 x y^{2} \cdot (- 2) x^{3} y

6 \cdot (- 2) x x^{3} y^{2} y = - 12 x^{4} y^{3}

Potenzen mit gleicher Basis werden multipliziert, indem man die Exponenten addiert.

Standarddarstellung eines Monoms

Ist in einem Monom zuerst der Zahlenfaktor notiert und das Produkt der gleichen Variablen als Potenz dargestellt, sagt man, dass das Monom ist in Standarddarstellung (oder Normalform) angegeben ist.

Das Monom ist in Normalform angegeben, wenn:

- das Produkt gleicher Variablen als eine Potenz geschrieben ist;

- der Zahlenfaktor oder der Koeffizient des Monoms der erste Faktor im Monom ist.

Beispiel:

Die Normalform des Monoms

10 \cdot \frac{1}{2} abbb

ist

\frac{10 \cdot 1}{2} abbb = \frac{5 \cdot 2 \cdot 1}{2} a b^{3} = 5 a b^{3}

Der Zahlenfaktor des Monoms in Standarddarstellung nennt man Koeffizient des Monoms.

Beispiel:

Der Koeffizient des Monoms

5 a b^{3}

ist $5$, der Koeffizient des Monoms

- 12 x^{4} y^{3}

ist $-12$.

Die Koeffizienten $1$ und $-1$ werden oftmals nicht aufgeschrieben.

1 a^{2} y = a^{2} y

;

- 1 x^{3} = - x^{3}

Der Grad des Monoms ist die Summe der Exponenten der Potenzen aller Variablen.

Um den Grad des Monoms zu bestimmen, muss man also die Exponenten der Potenzen aller Variablen addieren.

Beispiel:

- 12 x^{4} y^{3}

ist ein Monom siebten Grades ($4 + 3 = 7$);

$6a$ ist ein Monom ersten Grades;

$7$ ist ein Monom nullten Grades.

Wichtig!

Die Zahl $1$ im Exponenten wird meist nicht angeschrieben, sie wird beim Grad dennoch mitgezählt!

Gleichartige Monome

Monome, deren Produkte von Variablen gleich sind, aber die in unterschiedlicher Reihenfolge notiert sind, nennt man gleichartige Monome. Die Koeffizienten können unterschiedliche Werte annehmen.

Beispiel:

Gleichartige Monome sind z.B.