Polynome und ihre Normalform — Theoretisches Material. Mathematik, 7. Schulstufe.

Eine Summe mehrerer Monome nennt man ein Polynom.

Beispiel:

Polynome sind beispielsweise

3 x^{2} y

- 7 xy

a x^{2} + b x + c

13 x^{3} + 2 x^{2} y - x y^{2} + 12 y^{3}

x + 5 x - 13 x + 2 y

Monome, die ein Polynom bilden, nennt man Glieder des Polynoms.

Beispiel:

Glieder des Monoms

2 x^{2} y + 3 xy - 2

sind

2 x^{2} y

3 xy

und $- 2$.

Beispiel:

Wir wollen die Koeffizienten und Grade der Glieder des Monoms

4 a^{2} b - ba + 12

bestimmen:

Wenn der Koeffizient nicht angezeigt ist, ist sein Wert $1$.

Die Glieder des Monoms nennt man gleichartig, wenn ihre veränderlichen Faktoren (also die Kombinationen von Variablen) gleich sind.

Gleichartige Glieder eines Polynoms werden addiert, indem man ihre Koeffizienten addiert.

Beispiel:

Die gleichartigen Glieder des Monoms

3 x^{2} y + 2 x^{2} y - 2 xy + y x^{2} + 4 - 3

sind

3 x^{2} y; 2 x^{2} y; y x^{2}

Auch $4$ und $- 3$, die keine veränderlichen Faktoren haben, sind gleichartig.

Nachdem wir alle gleichartigen Glieder des Polynoms addiert haben, erhalten wir:

\underline{3 x^{2} y} + \underline{2 x^{2} y} - 2 xy + \underline{y x^{2}} + 4 - 3

6 x^{2} y - 2 xy + 1

Ein Polynom ist in seiner Normalform aufgeschrieben, wenn alle gleichartigen Glieder addiert und in Normalform angegeben sind.

Beispiel:

Wir schreiben das Polynom

6 + 10 x^{2} yx - 6xyx \cdot x + 3 x^{2} y - 4

in seiner Normalform auf:

1. Die Glieder des Polynoms werden in einer Normalform dargestellt.

6 + \underline{10 x^{2} yx} - \underline{6 xyx \cdot x} + 3 x^{2} y - 4 = 6 + 10 x^{3} y - 6 x^{3} y + 3 x^{2} y - 4 =

2. Die gleichartigen Glieder werden gefunden und addiert.

= 2 + 4 x^{3} y + 3 x^{2} y =

4. Die Glieder werden nach Potenzen einer der Variablen (z.B. $x$) geordnet, dabei beginnt man mit dem Glied mit der höchsten Potenz.

= 4 x^{3} y + 3 x^{2} y + 2

Der Grad eines Polynoms ist der höchste bei seinen Gliedern vorkommende Grad.

Beispiel:

Wir bestimmen den Grad des Polynoms

3 a^{4} b^{2} - 2 a^{3} b^{2} + a b^{2} - ab + 2

Glieder des Polynoms	$3 a^{4} b^{2}$	$- 2 a^{3} b^{2}$	$a^{1} b^{2}$	${- a}^{1} b^{1}$	$2 a^{0}$
Grad des Gliedes	$4 + 2 = 6$	$3 + 2 = 5$	$1 + 2 = 3$	$1 + 1 = 2$	$0$

Das gegebene Polynom hat also sechsten Grad.

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1. Polynome und ihre Normalform