Einsetzungsmethode — Theoretisches Material. Mathematik, 8. Schulstufe.

Wiederholung:

Das Gleichungssystem mit zwei Variablen mittels Einsetzung lösen:

1. in einer beliebigen Gleichung des Systems eine Unbekannte durch die andere ausdrücken,

z.B. \(x\) durch \(y\) in der ersten Gleichung des Systems;

2. \(x\) durch den erhaltenen Ausdruck in der anderen (zweiten) Gleichung des Systems ersetzen;

3. die Gleichung mit einer Unbekannten bezüglich \(y\) lösen (dh. \(y\) finden);

4. \(y\) durch den \(y\)-Wert, der im dritten Schritt gefunden wurde, in die Gleichung einsetzen und \(x\) finden;

Beispiel:

Löse das Gleichungssystem

\{\begin{cases} x - 2 y = 3 \\ 5 x + y = 4 \end{cases}

1) Aus der ersten Gleichung bekommen wir:

\begin{array}{l} x - 2 y = 3 \\ x = 3 + 2 y \end{array}

2) Ersetzen wir \(x\) durch diesen Ausdruck in der zweiten Gleichung des Systems:

\begin{array}{l} 5 \cdot x + y = 4 \\ 5 \cdot (3 + 2 y) + y = 4 \end{array}

3) Wir lösen die Gleichung und finden damit \(y\):

\begin{array}{l} 5 \cdot (3 + 2 y) + y = 4 \\ 15 + 10 y + y = 4 \\ 10 y + y = 4 - 15 \\ 11 y = - 11 |: 11 \\ \underline{y = - 1} \end{array}

4) Ersetzen wir \(y\) durch den \(y\)-Wert, den wir im letzten Schritt erhalten haben, und finden \(x\).

\begin{array}{l} x = 3 + 2 \cdot y \\ x = 3 + 2 \cdot (- 1) \\ x = 3 - 2 \\ \underline{x = 1} \end{array}

5) Die Lösung ist das Paar

(1; - 1)

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