Theorie:
Wir haben bereits zwei Arten kennengelernt, ein lineares Gleichungssystems (LGS) mit zwei Unbekannten zu lösen:
- Auflösen einer Gleichung nach einer Unbekannten und Einsetzen in die zweite Gleichung
- Gleichsetzen der Geradengleichungen, wenn man z.B. beide Gleichungen nach \(y\) auflöst.
Aber diese sind beide nicht sehr effizient; vor allem wenn das LGS komplexer wird. Die wirklich elegante Methode zur Lösung eines LGS beruht auf der Elimination einer Variablen durch Addition oder Subtraktion der Gleichungen.
Dazu betrachten wir nochmals unser Problem aus der ersten Theorieeinheit: Der Preis für zwei Burger plus ein Mineralwasser ist 10 Euro; für einen Burger und zwei Mineralwasser muss man 8 Euro bezahlen. Das hat uns auf ein LGS mit zwei Unbekannten geführt:
\( 2x + \;\;y = 10\) (I)
\( \;\;x + 2y = \;\;8\) (II)
Wenn wir mehrere Gleichungen haben, die gelten sollen, können wir diese auch addieren oder subtrahieren. Am oberen Beispiel verrät uns die Gleichung (I), dass die linke und die rechte Seite beide gleich \(10\) sind. In Gleichung (II) sind die beiden Seiten dagegen beide gleich \(8\). Wenn wir nun die beiden Gleichungen addieren, erhalten wir die neue Gleichung (I)+(II):
\( (2x+y) + (x+2y) = 10+8 \) oder
\( 3x+3y = 18\) (I)+(II)
Wir dürfen das tun, weil die linke Seiten von (I) und (II) ja gleich den entsprechenden rechten Seiten sein müssen, also gleich \(10\) und \(8\). Also muss deren Summe auch gleich der Summe der rechten Seiten sein, also gleich \(10+8=18\). Aus dem gleichen Grund dürfen wir die beiden Gleichungen auch subtrahieren:
\( (2x+y) - (x+2y) = 10-8 \) oder
\( x-y = 2\) (I)-(II)
Nur nützt uns das in dieser Form noch nicht viel, weil auf der linken Seite immer noch \(x\) und \(y\) stehen. Wir hätten lieber eine der beiden Unbekannten alleine stehen, damit wir die Lösung für diese ausrechnen können. Dazu müssen wir aber nur z.B. die obere Gleichung mit \(2\) multiplizieren; wir schreiben die zweite Gleichung dann darunter:
\( 4x + 2y = 20\) \(2\cdot\)(I)
\( \;\,x + 2y = \;\;8\) (II)
Wenn wir diese beiden Gleichungen subtrahieren, fallen die Terme mit \(y\) weg:
\( (4x + 2y)-(x+2y) = 20-8\) oder
\( 3x = 12\) \(2\cdot\)(I)-(II)
Dividieren dieser Gleichung durch \(3\) liefert uns die Lösung \(x=4\). Wenn wir diesen Wert für \(x\) in eine der beiden ursprünglichen Gleichungen (I) oder (II) einsetzen, kommen wir rasch auf die Lösung für \(y=2\).
Das Addieren oder Subtrahieren geht einfacher, wenn wir die übereinandergeschriebenen Gleichungen direkt für die Subtraktion nutzen:
\( 4x + 2y = 20\) \(2\cdot\)(I)
\( \;\,x + 2y = \;\;8\) (II)
————————
\( 3x \qquad \; = 12 \) \(2\cdot\)(I) - (II) \( | \; :3 \)
\( \;\,x \qquad \; = \;\;4 \)
Wie genau findet man nun den Faktor zum Multiplizieren der Gleichungen? Man sucht sich eine Unbekannte zur Elimination aus (das war in unserem Fall \(y\), es wäre aber auch mit \(x\) gegangen). Dann multipliziert man die Gleichungen so, dass oben und unten das gleiche Vielfache dieser Unbekannte steht (in unserem Fall hat die Verdopplung von (I) schon gereicht, dass oben und unten \(2y\) stehen). Dann subtrahiert man beide Gleichungen voneinander, so dass die Unbekannte auf der linken Seite wegfällt. In der nächsten Einheit sehen wir uns weitere Beispiele dazu an.