Theorie:

Die vielleicht wichtigste statistische Größe ist der Mittelwert, der üblicherweise mit \(\bar x\) ("x quer") oder \(\mu\) ("mü") bezeichnet wird. Er wird auch im Alltag häufig benutzt und auch Durchschnitt oder arithmetisches Mittel genannt. Wir wollen uns hier einheitlich für die Schreibweise \(\mu\) entscheiden.
 
Für eine Stichprobe \(\{x_i\}\) mit \(i = 1, 2, 3, \dots, n\) berechnet sich der Mittelwert folgendermaßen:
\[\mu = \frac{\sum_{i = 1}^n x_i}{n} \]
Diese Formel sieht komplizierter aus, als sie ist. Das Summenzeichen \(\Sigma\) bedeutet, dass alle verschiedenen Werte von \(i\) addiert werden. Genauso gut könnten wir also schreiben:
\[\mu = \frac{x_1 + x_2 + x_3 + \dots + x_n}{n}\].
Wenn wir uns nun erinnern, dass diese einzelnen \(x\)-Werte nichts weiter als die verschiedenen Werte der Stichprobe und \(n\) deren Anzahl ist, können wir einfach einsetzen und ausrechnen.
 
Beispiel:
Die Bücher in einem Regalfach haben folgende Seitenanzahlen:
\(312; 167; 503; 226; 264; 198; 331\) und \(807\). Wie groß ist die durchschnittliche (mittlere) Seitenanzahl?

Wir setzen einfach in die Formel für den Mittelwert ein, wobei
\(n = 8\),
\(x_1 = 312\),
\(x_2 = 167\),
\(\cdots\)
\(x_8 = 807\).

Wir erhalten:
\(\mu = \frac{312 + 167 + 503 + 226 + 264 + 198 + 331 + 807}{8} = \frac{2808}{8} = 351\)
 
books.jpg
 
Der Mittelwert \(\mu\) hat insbesondere folgende Eigenschaften:
  • Er liegt zwischen dem größten und dem kleinsten Wert der Stichprobe:
    \(x_{min} \leq \mu \leq x_{max}\)
  • Der Mittelwert ist eine reelle Zahl - auch wenn die Einzelwerte z.B. ganze Zahlen sind:
    \(\mu \in \mathbb R\)