Theorie:

Im vorigen Kapitel haben wir die Funktion y=kx mit \(k= 1\) betrachtet. Nehmen wir nun an, dass \(k\) eine positive Zahl \(\neq 1\) ist, zum Beispiel \(k = 2\).
Betrachten wir die Funktion y=2x und legen eine Wertetabelle an:
\(x\)\(1\)\(2\)\(-1\)\(-2\)\(4\)12\(-4\)\(-\)12
\(y\)\(2\)\(1\)\(-2\)\(-1\)12\(4\)\(-\)12\(-4\)
 
Tragen wir die gegebenen Punkte in die Koordinatenfläche ein und verbinden die Punkte, so erhalten wir:
 
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Betrachten wir jetzt den Fall \(k < 0\): 
 
Nehmen wir an, dass \(k = - 1\). 
 
Der Funktionsgraph \(y = -f(x)\) ist symmetrisch zum Funktionsgraphen \(y = f(x)\) bezüglich der \(x\)-Achse. Das bedeutet, dass der Funktionsgraph y=1x symmetrisch ist zum Funktionsgraphen y=1x. Wir erhalten eine Hyperbel, deren Zweige im zweiten und vierten Quadranten liegen.
 
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Der Graph der Funktion y=kx, k0 ist eine Hyperbel, deren Zweige im ersten und dritten Quadranten liegen, wenn \(k > 0\), und im zweiten und vierten Quadranten, wenn \(k < 0\).
Der Punkt \((0; 0)\) ist das Symmetriezentrum der Hyperbel, die Koordinatenachsen sind ihre Asymptoten.
Man sagt, dass die Größen \(x\) und \(y\) umgekehrt proportional zueinander sind, wenn sie durch das Verhältnis \(xy = k\) (wobei \(k\) eine Zahl, die \(0\) ungleich ist) verbunden sind, bzw. y=kx erfüllen.
Man nennt die Relation y=kx  umgekehrte Proportionalität (die Relation \(y= kx\) nennt man im Vergleich dazu direkte Proportionalität).
 
Die Zahl \(k\) ist der Koeffizient der umgekehrten Proportionalität.
Die Eigenschaften der Funktion y=kx, wenn \(k > 0\)
Um die Eigenschaften dieser Funktion zu beschreiben, untersuchen wir ihren Graphen, die Hyperbel:
 
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1. Das Definitionsgebiet der Funktion besteht aus allen Zahlen, außer \(x = 0\).
2. Es ist \(y > 0\), wenn \(x > 0\) und \(y < 0\), wenn \(x < 0\).
3. Die Funktion fällt auf den Intervallen ;0und0;+, d.h. im gesamten Definitionsbereich.
4. Die Funktion ist weder nach oben noch nach unten beschränkt.
5. Die Funktion hat keinen größten oder kleinsten Funktionswert.
6. Sie ist stetig auf den Intervallen ;0und0;+ (also im gesamten Definitionsbereich) und nur in \(x = 0\) unstetig.
 
Die Eigenschaften der Funktion y=kx, wenn \(k < 0\)
 
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1. Das Definitionsgebiet der Funktion besteht aus allen Zahlen, außer \(x = 0\).
2. Es ist \(y > 0\), wenn \(x < 0\) und \(y < 0\), wenn \(x > 0\).
3. Die Funktion wächst in den Intervallen ;0und0;+, d.h. auf dem gesamten Definitionsbereich.
4. Die Funktion ist weder nach oben noch nach unten beschränkt.
5. Die Funktion hat keinen größten oder kleinsten Funktionswert.
6. Sie ist stetig auf den Gebieten ;0und0;+ (also im gesamten Definitionsbereich) und ist nur in \(x=0\) unstetig.