Theorie:
Sucht man Wertepaare \((x;y)\), die gleichzeitig mehrere Gleichungen \(p(x;y)=0\) und \(q(x;y)=0\) erfüllen, dann spricht man davon, dass die gegebenen Gleichungen ein Gleichungssystem bilden. Man schreibt
Das Wertepaar \((x;y)\), das gleichzeitig Lösung der ersten und der zweiten Gleichungen des Systems ist, nennt man Lösung des Gleichungssystems.
Das Gleichungssystem zu lösen bedeutet alle seine Lösungen zu finden oder bestimmen, dass es keine Lösungen gibt.
Ein Gleichungssystem kann auch aus mehreren Gleichungen und mehreren Variablen bestehen:
Zwei Gleichungssysteme nennt man äquivalent, wenn sie dieselben Lösungen oder beide Systeme keine Lösungen haben.
Für die Lösung eines Gleichungssystems werden folgende Methoden angewendet:
1. Einsetzung,
2. algebraische Addition (auch "Elimination"),
3. Einführung neuen Variablen (auch "Substitution"),
4. grafische Lösung.
Beispiel:
Löse das Gleichungssystem:
Wir setzen für \(y\) den Ausdruck \(3x-1\) ein, den wir aus der ersten Gleichung erhalten haben.
Führen wir in der zweiten Gleichung eine neue Variable ein
Bei der Lösung der zweiten Gleichung mit der Variablen \(t\), erhalten wir:
Kehren wir zur Variablen \(x\) zurück, lösen die erhaltenen Gleichungen und finden:
Schließlich finden wir \(y\), indem wir \(x=0\) in die erste Gleichung einsetzen.
Wir erhalten, dass \(y=-1\).
Lösung des Systems ist also das Zahlenpaar \((0;-1)\).
Im Laufe der Lösung wurden hier zwei Methoden verwendet: Einsetzung und Einführung einer neuen Variablen.
Beispiel:
Löse das Gleichungssystem:
Hier wurden die Methoden der algebraischen Addition und der Einsetzung verwendet.
Quellen:
Mordkovitsch A.G. Algebra und der Analysenanfang. 10-11 Kl.
2-te Ausgabe. Teil 1. Buch für Allgemeinbildungseinrichtungen (Basislevel). - M.: Mnemozina, 2009.