11. Kettenbruch

Wir untersuchen hier einen unendlichen Kettenbruch:

 

$\displaystyle x=6+\frac 1{1 +\frac 1{6 +\frac 1{1+  \frac 1{6 +\frac 1{1+ \cdots } }} } }$.

 

Die Punkte deuten an, dass es so unendlich lange weitergeht, und die Zahlen 6 und 1 wechseln sich periodisch ab. Die von diesem Bruch dargestellte Zahl ist $x=\frac{6+\sqrt 60}2$. Natürlich kann man den Kettenbruch in endlicher Zeit nie "zu Ende" rechnen, man muss irgendwann abbrechen. Der so erhaltene Wert wird im Allgemeinen eine brauchbare Näherung von $x$ sein. Berechne hier nun eine Näherung von $x$, indem du den folgenden (abgebrochenen) Kettenbruch ausrechnest, und gib ihn als einfachen, gekürzten Bruch an:

 

$\displaystyle x=6+\frac 1{1 +\frac 1{6 +\frac 1{1+  \frac 1{6 +\frac 1{1 + \frac 1{6 +\frac 1{1 } }} }} } }$.

 

Antwort: $\frac{i}{i}$.