Theorie:
Halten wir uns nochmals vor Augen, was hinter der uns vertrauten Dezimaldarstellung von reellen Zahlen steckt. Nehmen wir zum Beispiel die Zahl \(392\) - was bedeutet diese Darstellung eigentlich?
Wenn das ein Geldbetrag wäre, und wir ihn an Hand von Zehn- und Hundert-Euro-Scheinen, sowie Ein-Euro-Münzen zusammenstellen wollten, so wäre eine Möglichkeit:
- \(3\) Hundert-Euro-Scheine
- \(9\) Zehn-Euro-Scheine
- \(2\) Euro-Münzen
Zusammen sind das genau \(392\) Euro. Die Ziffern \(3\), \(9\) und \(2\) sagen uns genau, wieviele Hundert- und Zehn-Euro-Scheine, und Euro-Münzen wir dafür brauchen. Dass das Beispiel in Euro ist, spielt hier natürlich keine Rolle. Man kann obigen Sachverhalt rein in Zahlen ausdrücken: \(392\) ist gleich
\(\underline{\mathbf {3}}\cdot 100+\underline{\mathbf {9}}\cdot 10+\underline{\mathbf {2}}\cdot 1\).
(Hier haben wir die Ziffern zum besseren Verständnis unterstrichen.) Die Ziffer \(2\) steht an der Einerstelle, \(9\) an der Zehnerstelle, und \(3\) an der Hunderterstelle.
- Die Stelle einer Ziffer sagt uns, ob sie sich auf Einser, Zehner, Hunderter, ..., bezieht.
- Der Wert der Ziffer sagt, wieviele davon (Einser, Zehner, Hunderter, ...) genommen werden.
Nun können wir Eins, Zehn, Hundert, ..., jeweils als eine Potenz von \(10\) schreiben:
\(392=3\cdot 10^2+9\cdot 10^1+2\cdot 10^0\).
Was wäre nun, wenn die Zahl nicht ganz, sondern nur rational wäre? Betrachten wir \(761,\!205\). Die Nachkommastellen bezeichnen nun die Zehntel, Hundertstel, usw... Wir können das auch in Zehnerpotenzen ausdrücken:
\(761,\!205= \underline{\mathbf {7}}\cdot 10^2+\underline{\mathbf {6}}\cdot 10^1+\underline{\mathbf {1}}\cdot 10^0 +\underline{\mathbf {2}}\cdot 10^{-1}+\underline{\mathbf {0}}\cdot 10^{-2}+\underline{\mathbf {5}}\cdot 10^{-3}\).
Zum besseren Verständnis haben wir die Ziffern wieder unterstrichen. Erinnere dich, dass \(\frac 1{10}=10^{-1}\) und \(\frac 1{100}=10^{-2}\), usw..., ist.
In der Dezimaldarstellung gibt die Stelle einer Ziffer an, auf welche Zehnerpotenz sie sich bezieht - Nachkommastellen beziehen sich auf Zehnerpotenzen mit negativen Exponenten. Die Ziffer gibt an, wie oft diese jeweilige Zehnerpotenz in der Zahl vorkommt.
Wichtig!
Die Ziffern im Dezimalsystem sind die Elemente der Menge \(\{0,1,2,\ldots, 9\}\).
Wieso reichen diese \(10\) Ziffern aus? Weil, sobald eine Ziffer den Wert \(10\) (oder mehr) hätte, das schon von der nächst-größeren Zehnerpotenz "aufgefangen" wird. So kommt nach \(19\) nicht die Zahl \(1[10]\) (in eckigen Klammern haben wir das geschrieben, was einer Ziffer "\(10\)" entsprechen würde). Stattdessen springt die Zehnerziffer von \(1\) auf \(2\), und die Einser-Ziffer beginnt wieder bei \(0\), wir haben also die Zahl \(20\). Um genauer zu sehen, was passiert, können wir das auch in Zehnerpotenzen ausschreiben:
\(19+1=\big(\underline{\mathbf{1}}\cdot 10+\underline{\mathbf{9}}\cdot 1\big)+1 =\underline{\mathbf{1}}\cdot 10+\underline{\mathbf{10}}\cdot 1 = \underline{\mathbf{2}}\cdot 10+\underline{\mathbf{0}}\cdot 1.\)
Beachte, dass wir im Zwischenschritt eine "Ziffer" \(10\) gehabt hätten, die wir aber zur nächsthöheren Zehnerpotenz dazugegeben haben.
Jede reelle Zahl \(x\) hat eine Dezimaldarstellung. Ist \(n\in\mathbb N\) die Anzahl der Stellen vor dem Komma, so hat die Dezimaldarstellung von \(x\) die Gestalt
\(x=a_n\,a_{n-1}\ldots a_2\,a_1\,a_0\,\,{\large{,}}\,\,a_{-1}\,a_{-2}\,a_{-3}\ldots\).
Dabei sind \(a_n, a_{n-1}, \ldots\in\{0,1,2,\ldots,9\}\) die Ziffern von \(x\). Das ist eine kompakte Schreibweise für die explizite Dezimaldarstellung:
\(x=a_n\cdot 10^n+a_{n-1}\cdot 10^{n-1}+\cdots+a_1\cdot 10^1+a_0\cdot 10^0+a_{-1}\cdot 10^{-1}+a_{-2}\cdot 10^{-2}\cdots\).
Die Dezimaldarstellung stellt reelle Zahlen als eine Kombination von Potenzen von Zehn dar - \(10\) spielt hier sozusagen die Schlüsselrolle! Daher auch der Name "Dezimalsystem", das leitet sich vom lateinischen Wort decem ("zehn") ab.
Die Zahl \(10\) heißt Basis der Dezimaldarstellung!
Hat eine reelle Zahl eine endliche Dezimaldarstellung, so ist diese eindeutig.
Lässt man jedoch auch unendliche Dezimaldarstellungen zu, so sind diese nicht mehr eindeutig. So ist beispielsweise \(0,\!999999\ldots\) gleich \(1\). Die Darstellung ist hier nicht mehr eindeutig.