Theorie:
Hat man eine Zahl bezüglich einer Basis \(b\) dargestellt, so kann man daraus relativ einfach die entsprechende Dezimaldarstellung berechnen. Das liegt vor allem daran, dass uns das Dezimalsystem am vertrautesten ist.
Wir zeigen das gleich an Hand eines Beispiels: Sei die folgende Zahl im \(4\)er-System gegeben: \((322,\!01)_4\). Wir brauchen nun bloß zu übersetzen, was das definitionsgemäß bedeutet:
\((312,\!01)_4 = 3\cdot 4^2+1\cdot 4^1+2\cdot 4^0 + 0\cdot 4^{-1}+1\cdot 4^{-2}\).
Das brauchen wir nun nur mehr auszurechnen, und wir erhalten somit:
\((312,\!01)_4 = 3\cdot 16+1\cdot 4+2\cdot1 + 0\cdot \frac 14+1\cdot \frac 1{16}= 54,\!0625\).
Wichtig!
Eine Zahl mit endlicher \(b\)-adischer Darstellung kann eine unendliche Dezimaldarstellung haben!
Beispiel:
\((0,\!1)_3\) entspricht \(\frac 13\), hat also die Dezimaldarstellung \(0,\!333333\ldots=0,\!\overline{3}\) (der Strich kennzeichnet die Ziffern, die sich unendlich oft wiederholen).
Beispiel:
Die Zahl \((0,\!A)_{11}\) hat die Dezimaldarstellung \(10\cdot \frac 1{11}=0,\!\overline{90}\), was auch eine unendliche periodische Dezimalbruchentwicklung hat.